walec w kuli

[Paku93]

objętość walca wpisanego w kule stanowi \(\displaystyle{ \frac{9}{16}}\) objętości kuli, oblicz stosunek promienia kuli (R) do wysokości walca (h)
wiec tak:
V kuli=\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^{3}}\)
V walca=\(\displaystyle{ h \cdot \pi \cdot r^{2}}\)
porównując wychodzi:
\(\displaystyle{ Vk \cdot \frac{9}{16}=Vw}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}\cdot R^{3}=h \cdot r^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3R^{3}=4r^{2} \cdot h}\)
i dalej nie wiem czy dobrze robię, bo wyliczam r z Pitagorasa
\(\displaystyle{ h^{2}+4r^{2}=4R^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4r^{2}=4R^{2} - h^{2}}\)
i wychodzą takie cuda:
\(\displaystyle{ 3R^{3}=h(4R^{2} - h^{2})}\)
\(\displaystyle{ 3R^{3}=4R^{2}h - h^{3}}\)
i dalej nic mi już nie wychodzi, mam w ogóle wrażenie ze trzeba tu z jakiegoś innego wzoru skorzystać a ja robię coś źle

proszę o pomoc przy rozwiązaniu kogoś kto to ogarnia

[aalmond]

\(\displaystyle{ 3R^{3}=4R^{2}h - h^{3} \\ \\
h^{3}-4R^{2}h + 3R^{3} = 0 \\ \\
h^{3}-R^{2}h-3R^{2}h + 3R^{3} = 0 \\ \\
h(h^{2}-R^{2})-3R^{2}(h-R) = 0 \\ \\
h(h-R)(h+R) -3R^{2}(h-R) = 0 \\ \\
(h-R)(h^{2}+hR-3R^{2}) = 0}\)

[sir_matin]

\(\displaystyle{ 3R^{3}=4R^{2}h - h^{3}}\)

w tym miejscu możesz podzielić stronami przez \(\displaystyle{ h^{3}}\) i dalej

\(\displaystyle{ 3( \frac{R}{h} ) ^{3}=4(\frac{R}{h}) ^{2} -1}\) , podstawiamy \(\displaystyle{ k=\frac{R}{h}}\) i rozwiązujemy równanie:

\(\displaystyle{ 3k ^{3}-4k ^{2} +1=0}\)