Na podstawie danych o walcu i stożku, znajdź sinus kąta alfa

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
kenser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 27 lis 2010, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Na podstawie danych o walcu i stożku, znajdź sinus kąta alfa

Post autor: kenser »

Proszę o pomoc w tym zadaniu:
Walec i stożek mają takie same objętości i równe pola powierzchni bocznej, oraz wysokość walca jest równa tworzącej stożka. Oblicz sinus kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy, i oszacuj miarę tego kąta.
Oznaczmy przez l zarówno wysokość walca jak i tworzącą stożka. Wiedząc, że pola powierzchni bocznej są równe możemy zapisać równość _____. Dzieląc obie strony przez wyrażenie otrzymamy zależność między promieniem walca i promieniem stożka, czyli _____. Objętości obu brył są równe, więc możemy zapisać równość _____, gdzie H to wysokość stożka. Przekształcamy równanie, podstawiamy obliczoną długość promienia i mamy \(\displaystyle{ H =}\) _____, stąd możemy już wyznaczyć \(\displaystyle{ sin \alpha =}\) _____, więc możemy oszacować miarę kąta alfa, zatem \(\displaystyle{ \alpha \approx}\) _____.
Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Na podstawie danych o walcu i stożku, znajdź sinus kąta alfa

Post autor: aniu_ta »

Wiedząc, że pola powierzchni bocznej są równe możemy zapisać równość:

\(\displaystyle{ \pi r _{s} l=2 \pi r _{w} l}\)

Dzieląc obie strony przez wyrażenie

\(\displaystyle{ \pi l}\)

otrzymamy zależność między promieniem walca i promieniem stożka, czyli

\(\displaystyle{ r _{s} =2r _{w}}\)

Objętości obu brył są równe, więc możemy zapisać równość

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi r _{s} ^{2} H= \pi r _{w} ^{2} l}\)


Przekształcamy równanie, podstawiamy obliczoną długość promienia i mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi 4 r _{w} ^{2} H= \pi r _{w} ^{2} l}\)

\(\displaystyle{ H= \frac{3}{4} l}\)

stąd możemy już wyznaczyć

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{H}{l} = \frac{3}{4}=0.75}\)
ODPOWIEDZ