Witam.
Od dłuższego czasu borykam się z obliczeniami środków ciężkości dla brył geometryczych. Są to kształty wyznaczone przez ciecz zamkniętą w zbiornikach. Z zbiornikiem typu porostopadłościan sobie poradziłem. Moim zadaniem jest wyznaczenie środków ciężkości dla tego zbiornika w różnym stanie zapełnienia (20,40,60,80%) i przy różnym kącie przechyłu (20,40,60 stopni).
Powracając do problemu: nie wiem jak policzyć środek ciężkości dla przykładowej bryły (myślę, że z resztą sobie poradzę tzn z obracaniem zbiorników i "szukaniem" powierzchni cieczy).
Proszę o przykład rozwiązania, który pomógłby mi zrozumieć "jak to się je" Jedyne co znamy to współrzędne wierzchołków.
np. bryła typu: "krzywa kostka"
A: (3;1;0)
B: (6;2;0)
C: (5;4;1)
D: (2;4;1)
E: (3;0;3)
F: (6;1;4)
G: (5;3;4)
H: (2;4;3)
czyli mniej więcej tak:
Obliczenie środków ciężkości
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Obliczenie środków ciężkości
Jeśli ciecz w zbiorniku przyjmuje kształt bryły o wierzchołkach \(\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots,x_n}\), to środkiem ciężkości cieczy jest punkt: \(\displaystyle{ \frac 1n\cdot \displaystyle{\sum_{i=1}^nx_n}}\). Dla punktów A - H wyszło mi: \(\displaystyle{ \left(4,\frac {19}8,2\right)}\).
Obliczenie środków ciężkości
Czy aby na pewno? Czy ten wzór (średnia arytmetyczna) nie ma ograniczeń co do staosowania?
Sprawdziłem sobie na ostrosłupie o podstawie kwadratu ( srodek ciężkości powinien być w 0,25 wysokości ostrosłupa):
\(\displaystyle{ A: (1,1,0) \\
B: (4,1,0)\\
C: (4,1,3)\\
D: (1,1,3)\\
E: (2,5;11;1,5)}\)
wychodzi \(\displaystyle{ (2,5;3;1,5)}\), x,y OK ale z jest w \(\displaystyle{ \frac{2}{11}}\) wysokości
ostrosłup:
Sprawdziłem sobie na ostrosłupie o podstawie kwadratu ( srodek ciężkości powinien być w 0,25 wysokości ostrosłupa):
\(\displaystyle{ A: (1,1,0) \\
B: (4,1,0)\\
C: (4,1,3)\\
D: (1,1,3)\\
E: (2,5;11;1,5)}\)
wychodzi \(\displaystyle{ (2,5;3;1,5)}\), x,y OK ale z jest w \(\displaystyle{ \frac{2}{11}}\) wysokości
ostrosłup:
- AU
- xbcql3.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 112 razy
Ostatnio zmieniony 31 maja 2011, o 22:48 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Obliczenie środków ciężkości
Faktycznie, średnia daje środek ciężkości wierzchołków.
To może tak. Bryłę dzielimy na sympleksy, czyli czworościany. Dla sympleksów, czyli czworościanów średnia arytmetyczna wierzchołków działa i daje właściwy wynik. Każdy sympleks zastępujemy jego środkiem ciężkości z masą równą objętości tego sympleksu. W ten sposób otrzymujemy skończony zbiór punktów \(\displaystyle{ x_i}\) z masami \(\displaystyle{ m_i}\), którego środek ciężkości wyznaczamy ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}}\).
To może tak. Bryłę dzielimy na sympleksy, czyli czworościany. Dla sympleksów, czyli czworościanów średnia arytmetyczna wierzchołków działa i daje właściwy wynik. Każdy sympleks zastępujemy jego środkiem ciężkości z masą równą objętości tego sympleksu. W ten sposób otrzymujemy skończony zbiór punktów \(\displaystyle{ x_i}\) z masami \(\displaystyle{ m_i}\), którego środek ciężkości wyznaczamy ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}}\).
Obliczenie środków ciężkości
Z pewnaścią działa, ale wprowadza pewną niedokładność i jest chyba bardzo czasochłonne. Szczerze to nie wiem jak to zrobić tak aby miało to optymalną dokładność i dało się to zrobic arkuszem kalkulacyjnym.
a może coś w tę stronę (znalazłem w internecie, ale nie wiem jak zastosować, jakiś pomysł?):
\(\displaystyle{ x= \frac{ \int_{V}^{}xdV }{V}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{ \int_{V}^{}zdV }{V}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \int_{V}^{}ydV }{V}}\)
a może coś w tę stronę (znalazłem w internecie, ale nie wiem jak zastosować, jakiś pomysł?):
\(\displaystyle{ x= \frac{ \int_{V}^{}xdV }{V}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{ \int_{V}^{}zdV }{V}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \int_{V}^{}ydV }{V}}\)
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Obliczenie środków ciężkości
Problem okazuje się być NP-zupełny. To znaczy jesteśmy skazani na czasochłonne algorytmy (albo odbiór nagrody 1 mln $ za wskazanie szybkiego). Jeśli twoje bryły należą do jakiejś szczególnej klasy, na przykład są to ostrosłupy, to powinno być prościej. Dla wielokątów płaskich jest wzór:
\(\displaystyle{ C_{\mathrm x} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)}\)
\(\displaystyle{ C_{\mathrm y} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)}\)
co daje algorytm liniowy. Otrosłup nie różni się wiele od wielokąta płaskiego.
Te wzory z całkami to definicja środka ciężkości, czyli bardzo siłowe podejście do problemu. Zastosować się da. Na przykład zapisujemy bryłę w postaci przecięcia półprzestrzeni, wybieramy odpowiednio gęstą sieć punktów o współrzędnych postaci \(\displaystyle{ (\varepsilon a,\varepsilon b, \varepsilon c)}\) dla całkowitych \(\displaystyle{ a,b,c}\) identyfikujemy punkty leżące w bryle, czyli należące do wszystkich półprzestrzeni i zamieniamy całki na sumy po podzbiorach punktów z sieci.
Można znaleźć artykuły szasujące z dołu pesymistyczny koszt czasowy algorytmu szukania środka ciężkości z dokładnościa do zadanego \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Wygląda na to, że i w tym przypadku nie ma szybkich algorytmów.
\(\displaystyle{ C_{\mathrm x} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)}\)
\(\displaystyle{ C_{\mathrm y} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)}\)
co daje algorytm liniowy. Otrosłup nie różni się wiele od wielokąta płaskiego.
Te wzory z całkami to definicja środka ciężkości, czyli bardzo siłowe podejście do problemu. Zastosować się da. Na przykład zapisujemy bryłę w postaci przecięcia półprzestrzeni, wybieramy odpowiednio gęstą sieć punktów o współrzędnych postaci \(\displaystyle{ (\varepsilon a,\varepsilon b, \varepsilon c)}\) dla całkowitych \(\displaystyle{ a,b,c}\) identyfikujemy punkty leżące w bryle, czyli należące do wszystkich półprzestrzeni i zamieniamy całki na sumy po podzbiorach punktów z sieci.
Można znaleźć artykuły szasujące z dołu pesymistyczny koszt czasowy algorytmu szukania środka ciężkości z dokładnościa do zadanego \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Wygląda na to, że i w tym przypadku nie ma szybkich algorytmów.