Pytania natury geometrycznej

Zedd · Post autor: **Zedd** » 13 maja 2011, o 14:13

Witam, ile razy potrzebowałem matematycznej pomocy tyle razy ktoś tutaj podsunął mi podpowiedź. Mam nadzieję, że tak też będzie tym razem.
Oto kilka pytań natury geometrycznej:
1)Jak znaleźć wielościan, którego liczba przekątnych jest równa zadanej liczbie?
2)Czy istnieje jakiś związek pomiędzy liczbą przekątnych w wielościanie a liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian?(Czy ma ta zależność jakiś związek ze wzorem Eulera?)

magnolia91 · Post autor: **magnolia91** » 17 maja 2011, o 13:14

są tylko wzory dla szczególnych wielościanów - np. graniastosłup o podstawie n-kąta :
n(n-3)
dowód:
n to liczba wierzchołków u podstawy graniastosłupa, a graniastosłup ma takich(identycznych) podstaw dwie. Rozważmy dolną podstawę. Każdy jej wierzchołek(a jest ich oczywiście n) łączy się z n-3 wierzchołkami podstawy górnej(3 wierzchołki odpadaja, ponieważ po połączeniu ich z wyjściowym wierzchołkiem powstałyby: krawędź boczna i dwie przekątne ścian bocznych, a my liczymy tylko przekątne graniastosłupa). Więc stąd wzór n(n-3). A więcej przekatnych juz nie ma, ponieważ wierzchołki z dolnej podstawy połączyły się z tymi z górnej