Ostrosłup prawidłowy czworokątny - przekrój

[ruza]

Witam, mam takie zadanko i po dluzszych mękach postanowiłem je tutaj wrzucic, a więc:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości h, tworzącej z krawędzią boczną kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \beta}\), gdzie \(\displaystyle{ \beta < 90^o}\). Oblicz pole przekroju, przyjmując, że h jest mniejszym pierwiastkiem równania:

\(\displaystyle{ 5*{n\choose 3}={n+2\choose 4}}\) i sin\(\displaystyle{ \alpha=\frac{12}{13}}\) i cos\(\displaystyle{ \beta=\frac{4}{5}}\)

Edit:
Napisze co teoretycznie udało mi się to obliczyć, ale czy jest to poprawnie to nie wiem, sądząc po wyniku nie bardzo, natomiast z drugiej nasza nauczycielka lubi takie wyniki, więc któż to może wiedzieć .


1. Mniejszy pierwiastek tego równania wg. moich obliczeń to 3
2. Przekątna podstawy wyliczona z sin\(\displaystyle{ \alpha}\) to \(\displaystyle{ \frac{72}{5}}\)
3. Po wielu przekształceniach i dorysowaniu paru prostych na rysunku, obliczyłem h tej płaszczyzny przecinającej tą bryłę i wynosi ono \(\displaystyle{ \frac{144}{25}}\), to juz wydaje sie dziwne... ale z tego wszystkiego wynika ze pole przekroju to 41,472 \(\displaystyle{ cm^2}\) lub \(\displaystyle{ \frac{5184}{125}cm^2}\).
Czy jest ktoś w stanie to sprawdzić ? Z góry dziękuje.

[florek177]

Oznaczam H - wysokość ostrosłupa; h wysokość przekroju; c - przekątną podstawy.
Rysunek: przekątna podstawy i krawędzie boczne ostrosłupa tworzą trójkąt równoramienny o wysokości - H i kącie przy wierzchołku - 2α. Ze środka podstawy do ramienia - pod kątem β do podstawy - kreślę wysokość przekroju - h. Z punktu przecięcia się jej z ramieniem , wysokość - x. która dzieli połowę podstawy trójkąta na odcinki : y , ( c /2 ) - y. Odpowiednie wartości funkcji liczę z jedynki trygonometrycznej. c - policzyłeś dobrze, ale z tangensa pod warunkiem, że pierwiastek równania jest dobry - tego nie sprawdzałem.
Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{h} = sin(\beta) = \frac{3}{5} \,\,}\); \(\displaystyle{ \,\, \frac{y}{x} = tg(\alpha) = \frac{12}{5} \,\,}\); \(\displaystyle{ \,\, \frac{x}{\frac{c}{2}- y} = tg(\beta) = \frac{3}{4} \,\,}\);

z tego z łatwością wyliczysz h przekroju. \(\displaystyle{ h = \frac{45}{14} \,\,}\) - ale nie sprawdzałem.