Kula i ostrosłup

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ A}\)= {\(\displaystyle{ x \in}\)ostrosłupów: \(\displaystyle{ x}\) jest prawidłowy czworokątny}
\(\displaystyle{ R_{x}}\) - długość promienia kuli opisanej na ostrosłupie \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ r_{x}}\) - długość promienia kuli wpisanej w ostrosłup \(\displaystyle{ x}\)

Polecenie:

Znajdź największą liczbę \(\displaystyle{ M \in \mathbb{R}}\) taką, by: \(\displaystyle{ \forall x\in A:\frac{R_{x}}{r_{x}} \ge M}\) albo wykaż, że taka liczba nie istnieje.

Proszę o jakąś wskazówkę dot. rozwiązywania tego zadania.

[Justka]

Niech \(\displaystyle{ a}\)- długość krawędzi podstawy ostrosłupa x oraz \(\displaystyle{ \alpha}\)- kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (\(\displaystyle{ \alpha \in (0,\frac{\pi}{2} ))}\).

Zgodnie z przyjętymi danymi szukasz \(\displaystyle{ R_x}\) oraz \(\displaystyle{ r_x}\), mi wyszło coś takiego \(\displaystyle{ \frac{R_x}{r_x}= \frac{1+\cos^2 \alpha}{2\cos \alpha(1-\cos \alpha)}}\)

I teraz wystarczy obliczyć minimum funkcji \(\displaystyle{ f(t)=\frac{1+t^2}{2t(1-t)}}\) w przedziale \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\), oczywiście jeśli takowe istnieje

[tatteredspire]

Niech \(\displaystyle{ a}\)- długość krawędzi podstawy ostrosłupa x oraz \(\displaystyle{ \alpha}\)- kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (\(\displaystyle{ \alpha \in (0,\frac{\pi}{2} ))}\).

Zgodnie z przyjętymi <A id=anchorbbtBubble201 class=intextPodtrzeni href="javascript:void(0)" redirect=" style="BORDER-BOTTOM: medium none; POSITION: absolute; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 0px; HEIGHT: 0px; OVERFLOW: hidden; BORDER-TOP: medium none; TOP: 0px; BORDER-RIGHT: medium none; LEFT: 0px" id=overbbtBubble201><IFRAME style="DISPLAY: none" id=overbbtBubble201ifr marginHeight=0 src="" frameBorder=0 allowTransparency name=overbbtBubble201ifr marginWidth=0 scrolling=no url="http://bbcdn.code.new.smartcontext.pl/app/html/overWordLayer.html#att=4&atd=361;7862077120497337215;1939938385;1955;1859;152628;5040;8304061723177938641;14;1;3;74512326&bbMainDomain=new.smartcontext.pl&kwh=danymi&kwl=DANY&curl=http%3A%2F%2Fad-emea.doubleclick.net%2Fclk%3B240843727%3B63681426%3Bm"></IFRAME></SPAN></A> szukasz \(\displaystyle{ R_x}\) oraz \(\displaystyle{ r_x}\), mi wyszło coś takiego \(\displaystyle{ \frac{R_x}{r_x}= \frac{1+\cos^2 \alpha}{2\cos \alpha(1-\cos \alpha)}}\)

I teraz wystarczy obliczyć minimum funkcji \(\displaystyle{ f(t)=\frac{1+t^2}{2t(1-t)}}\) w przedziale \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\), oczywiście jeśli takowe istnieje

A da się to formalnie pokazać bez znajomości pochodnych? Bo rozumiem, że trzeba zbadać przebieg zmienności funkcji.