Podane przekątne ścian bocznych, wyliczyć kąty i inne

[cinek0111]

Witam! Dziś problem z takim zadaniem:

Przekątne ścian bocznych prostopadłościanu o długości 8 cm i 10 cm tworzą kąt o mierze 60°. Oblicz:
a) długość krawędzi prostopadłościanu;
b) długość przekątnej prostopadłościanu;
c) miary kątów między przekątnymi ścian bocznych, a przekątną podstawy.

I teraz tak. Skoro mamy kąt, to pewnie gdzieś tutaj trzeba znaleźć trójkąt prostokątny i na jego podstawie coś wyliczyć. Pytanie - co wyliczyć i gdzie ten trójkąt znaleźć?

[piasek101]

Z kosinusów dostaniesz przekątną podstawy.

[cinek0111]

Ok, ale jak? Kosinusy jakich kątów w jakim trójkącie/trójkątach? Mogę prosić o trochę dokładniejsze wskazówki?

[alfgordon]

kąty o mierze 60 stopni są pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej,

masz daną przekątną ściany bocznej i kąt , więc z zależności w trójkącie o kątach 30,60 i 90 stopni wyliczysz krawędź podstawy i wysokość prostopadłościanu.

b) jak wyliczysz krawędź podstawy i wysokość prostopadłościanu , wylicz przekątną podstawy.
Potem skorzystaj z tw. Pitagorasa by wyliczyć przekątną prostopadłościanu

c)z tw. Cosinusów wylicz ten kąt

[cinek0111]

Może w tej chwili popisuję się wyjątkową ciemnotą, ale z czego wynika to, że kąt między krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej jest równy właśnie 60 stopni?

[alfgordon]

przepraszam, źle przeczytałem treść zadania, skorzystaj z tego co napisał piasek101,

[cinek0111]

Ok, czyli z twierdzenia cosinusów dostajemy coś takiego (niech p oznacza przekątną podstawy):
\(\displaystyle{ p^{2}= 8^{2}+ 10^{2}-2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot cos \ 60^{o}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ p^{2}=84 \\
p= 2 \sqrt{21}}\)

I... znowu ściana. Co dalej z tym zrobić? Do czego mogę przekątną podstawy wykorzystać? I czy dobrze zastosowałem twierdzenie a jednocześnie - czy powyższy rachunek jest dobry?

[alfgordon]

do wyliczenia krawędzi podstawy (podstawa to kwadrat)

\(\displaystyle{ a}\) -krawędź podstawy

\(\displaystyle{ a\sqrt{2} =2\sqrt{21}}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{42}}\)

wysokośc prostopadłościanu z tw. Pitagorasa wyliczysz

[cinek0111]

Moment. Skoro przekątne ścian bocznych są różnej długości, to znaczy, że te ściany te nie są identycznymi prostokątami. A z tego wynika, że podstawa nie może być kwadratem (?).

[alfgordon]

...to nie mój dzień.. cóż za głupie błędy, trzeba rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 +H^2 =8^2 \\ y^2 +H^2 =10^2 \\ x^2 +y^2 =(\sqrt{42})^2 \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) to krawędzie podstawy

[cinek0111]

Zdecydowanie nie Twój - w ostatnim równaniu układu powinno być zamiast \(\displaystyle{ (\sqrt{42})^{2}}\) raczej \(\displaystyle{ ( 2\sqrt{21} )^{2}}\) (chyba że to ja się pomyliłem w obliczeniach przy liczeniu przekątnej podstawy)

I tak, rozwiązując układ równań, mamy:
- krawędzie podstawy: \(\displaystyle{ 2\sqrt{15}}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}}\)
- wysokość: \(\displaystyle{ 2\sqrt{10}}\).

Z tw. Pitagorasa policzyłem przekątną prostopadłościanu - wyszło \(\displaystyle{ 2\sqrt{31}}\). Jest ok?
Ale to, jak policzyć kąty między przekątną podstawy a przekątnymi ścian bocznych dalej jest dla mnie zagadką

[piasek101]

Ale to, jak policzyć kąty między przekątną podstawy a przekątnymi ścian bocznych dalej jest dla mnie zagadką

Np tw sinusów.

[cinek0111]

Dobra, udało się z Waszą pomocą. Dzięki
Jeden kąt ma ok. 71, a drugi ok. 49 stopni.

Jeszcze raz dzięki za pomoc!