Przekształcenie liniowe prostokąta w inną figurę

[GarrySpring]

Cześć.
Chciałbym poddać prostokąt pewnym transformacją liniowym tak aby otrzymać konkretną figurę, która zadana jest na początku. Brzmi może trochę zagmatwanie, ale rysunek szybko rozwieje wszelkie wątpliwości:

AU

RLxLh.gif (8.6 KiB) Przejrzano 43 razy

Otóż, mając zadaną figurę końcową \(\displaystyle{ A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}\) chcę doprowadzić do tego, aby wszystkie punkty początkowej figury \(\displaystyle{ ABCD}\) pokrywały się odpowiednio ze sobą.

Na pierwszy rzut oka, widać od razu, że nie ma jakiegoś jednego przekształcenia (na pewno ?), które mogłoby dać taki wynik. Dlatego dekomponując na elementarne przekształcenia mamy:
- przesunięcie o wartość \(\displaystyle{ dx}\) i \(\displaystyle{ dy}\) wszystkich punktów,
- obrót punktów o zadany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) względem środka układu współrzędnych,
- skalowanie punktów współczynnikiem (powiększanie, pomniejszanie figury),
- obrót figury w osi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

Pierwsze trzy przekształcenia wiem jak zrobić, ale czwartego nie mam pojęcia. Czy ktoś wie jaka formuła matematyczna umożliwi taką operację? Dla ułatwienia dodaję rysunek, aby było jasne o co konkretnie chodzi:

AU

xcmia.gif (6.47 KiB) Przejrzano 43 razy

Na rysunku widać, że prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) musi być "obrócony" o pewien kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) względem osi \(\displaystyle{ z}\), tak aby uzyskać kształt figury \(\displaystyle{ A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}\). Przekształcenie dokonuje się tak jakby w przestrzeni \(\displaystyle{ 3D}\) i wynik obrotu rzutuje się na płaszczyznę \(\displaystyle{ 2D}\). Przynajmniej ja to tak widzę

Z góry dziękuję za pomoc i odnośniki do ewentualnych materiałów pomocniczych.