Oblicz długość przekątnej graniastosłupa

[victor-junior1]

Oblicz długosć przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego korzystając z podanych informacji.

Przekątna podstawy tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 30 stopni. Krawędź podstawy wynosi 2.

Po rozwiązaniu wyszło mi , że przekątna wynosi pierwiastek z 10. Czy to jest dobrze? Proszę o pomoc.

[alfgordon]

mi wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{4\sqrt{6}}{3}}\)

[victor-junior1]

Dzięki, a jeśli kąt nachylenia tej przekatnej do płaszczyzny podstawy ma miare 30 stopni, to bedzie tak samo?

[alfgordon]

tak, to jest ten sam kąt

[victor-junior1]

Dzięki , ale nie powinno wyjsć 2 pierwiastek z 8? Bo dlugosc przekątnej podstawy można obliczyć z Pitagorasa i wtedy wyjdzie pierwiastek z 8. Przeciwprostokątna musi być 2 razy dłuzsza , więc powinno być 2 pierwiastek z 8 ? Czy to jest dobrze?

[alfgordon]

tylko że przekątna podstawy równa: \(\displaystyle{ \sqrt{8} =2\sqrt{2}}\) leży naprzeciwko 60stopni a nie 30...
źle korzystasz z zależności w trójkącie o kątach 30,60 i 90 stopni

[victor-junior1]

Tzn. , że musi byc 2 raazy krotsza , tak? a nie dluzsza.

[alfgordon]

więc \(\displaystyle{ a\sqrt{3}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\)

więc przekątna graniastosłupa wynosi: \(\displaystyle{ 2a=\frac{4\sqrt{6}}{3}}\)

[victor-junior1]

a dlaczego jest 2 pierwiastek z 2? moim zdaniem powinno wyjsć ostatecznie 2 pierwiastek z 2.

[alfgordon]

\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) jest to długość przekątnej podstawy...

[victor-junior1]

Liczyłeś z cosinus-a? Jeśli tak , to jeszcze nie mialem tego.
Nie maiłem też właśnści trygo.

dlaczego tam trzeba podzielić przez 3? bo tego nie rozumiem...

[wujomaro]

Z zadania wynika, że krawędź podstawy ma 2. Przekątna podstawy jest nachylona do przekątnej graniastosłupa pod kątem 30*. Więc: Wzóra na przekątną kwadratu(jest przecież w podstawie):
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2} \rightarrow d=2 \sqrt{2}}\)
teraz wyobraź sobie trójkąt o kątach 30, 60 i 90, gdzie jednym bokiem jest przekątna podstawy, drugim przekątna bryły i trzecim wysokość bryły. Przekątna podstawy to \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\), a w zależności boków w takim trójkącie wynika, że jest to \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\), jeśli prza \(\displaystyle{ a}\) oznaczymy wysokość bryły.
\(\displaystyle{ a \sqrt{3}=2 \sqrt{2} \rightarrow a= \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }= \frac{2 \sqrt{6} }{3}}\)
Ale przekątna bryły ma długośc 2a, więc: \(\displaystyle{ 2a= \frac{4 \sqrt{6} }{3}}\)
Pozdrawiam! -- 7 maja 2011, o 22:56 --Z zadania wynika, że krawędź podstawy ma 2. Przekątna podstawy jest nachylona do przekątnej graniastosłupa pod kątem 30*. Więc: Wzóra na przekątną kwadratu(jest przecież w podstawie):
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2} \rightarrow d=2 \sqrt{2}}\)
teraz wyobraź sobie trójkąt o kątach 30, 60 i 90, gdzie jednym bokiem jest przekątna podstawy, drugim przekątna bryły i trzecim wysokość bryły. Przekątna podstawy to \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\), a w zależności boków w takim trójkącie wynika, że jest to \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\), jeśli prza \(\displaystyle{ a}\) oznaczymy wysokość bryły.
\(\displaystyle{ a \sqrt{3}=2 \sqrt{2} \rightarrow a= \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }= \frac{2 \sqrt{6} }{3}}\)
Ale przekątna bryły ma długośc 2a, więc: \(\displaystyle{ 2a= \frac{4 \sqrt{6} }{3}}\)
Pozdrawiam!