Witam,
Zad:
Rozwinięcie powierzchni bocznej walca jest kwadratem. Oblicz stosunek objętości walca do objętości kuli opisanej na tym walcu.
Temat zmieniłam. Walc, to według mojej wiedzy taniec, a nie bryła;)/ariadna
Ale co walc[taniec] miałby robić na forum matematycznym ?:D
Kula opisana na walcu
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Kula opisana na walcu
Niech ten kwadrat ma bok \(\displaystyle{ a}\) tak więc:
\(\displaystyle{ 2{\pi}r=a}\) wobec tego \(\displaystyle{ r=\frac{a}{2\pi}}\)
\(\displaystyle{ r}\) to promień koła bedącego podstawą walca
\(\displaystyle{ R}\) to promień kuli zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (\frac{2a}{2\pi})^{2}+a^{2}=(2R)^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}(\frac{1}{{\pi}^{2}}+1)=4R^{2}}\)
\(\displaystyle{ a\sqrt{\frac{1}{{\pi}^{2}}+1}=2R}\)
Objętość kuli wynosi więc:
\(\displaystyle{ V=\frac{a^{3}}{6}(\sqrt{\frac{1}{{\pi}^{2}}+1})^{3}\pi}\)
Objętość walca;
\(\displaystyle{ V=\frac{a^{3}}{4\pi}}\) stosunek objętości wyniesie wiec:
\(\displaystyle{ \frac{3}{4(\sqrt{\frac{1}{{\pi}^{2}}+1})^{3}{\pi}^{2}}}\) ale sprawdź czy się w obliczeniach nie rąbnęłam.
\(\displaystyle{ 2{\pi}r=a}\) wobec tego \(\displaystyle{ r=\frac{a}{2\pi}}\)
\(\displaystyle{ r}\) to promień koła bedącego podstawą walca
\(\displaystyle{ R}\) to promień kuli zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (\frac{2a}{2\pi})^{2}+a^{2}=(2R)^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}(\frac{1}{{\pi}^{2}}+1)=4R^{2}}\)
\(\displaystyle{ a\sqrt{\frac{1}{{\pi}^{2}}+1}=2R}\)
Objętość kuli wynosi więc:
\(\displaystyle{ V=\frac{a^{3}}{6}(\sqrt{\frac{1}{{\pi}^{2}}+1})^{3}\pi}\)
Objętość walca;
\(\displaystyle{ V=\frac{a^{3}}{4\pi}}\) stosunek objętości wyniesie wiec:
\(\displaystyle{ \frac{3}{4(\sqrt{\frac{1}{{\pi}^{2}}+1})^{3}{\pi}^{2}}}\) ale sprawdź czy się w obliczeniach nie rąbnęłam.
-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Kula opisana na walcu
Skoro rozwinięcie powierzchni bocznej jest kwadratem, to wysokość walca \(\displaystyle{ H = 2 \pi r \,\,}\) a \(\displaystyle{ \,\, R = r \sqrt{1 + \pi^{2}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 18:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Kątowni
- Podziękował: 21 razy
Kula opisana na walcu
to jak z tymi obliczeniami ?? Dobrze są??
[ Dodano: 11 Styczeń 2007, 19:22 ]
[ Dodano: 11 Styczeń 2007, 19:22 ]
Może ktoś wyjaśnić dokładnie skąd ta nierówność??Lady Tilly pisze: \(\displaystyle{ r}\) to promień koła bedącego podstawą walca
\(\displaystyle{ R}\) to promień kuli zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (\frac{2a}{2\pi})^{2}+a^{2}=(2R)^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}(\frac{1}{{\pi}^{2}}+1)=4R^{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Kula opisana na walcu
Zadanie liczysz prosto: \(\displaystyle{ H_{w} = 2 \pi r \,\,}\) ; \(\displaystyle{ R = \sqrt{r^2 + (\pi r)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ V_{w} = \pi r^2 2 \pi r}\)
\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi r^{3} (\sqrt{1 + \pi^{2}})^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{w} = \pi r^2 2 \pi r}\)
\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi r^{3} (\sqrt{1 + \pi^{2}})^{3}}\)