objętość ostrosłupa prawidłowego

[mdmicky92]

Witam, mam problem z jednym zadaniem z matury rozszerzonej z ubiegłego roku.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Problem polega na tym, że nie wiem, w jaki sposób zostało wykonane jedno przekształcenie, a konkretnie w momencie gdzie liczony jest odcinek x. Ja pozostawiłem go w postaci \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3tg ^{2} \alpha -1 } }{2tg \alpha }}\), a tam go jeszcze przekształcono w jakiś sposób, którego kompletnie nie rozumiem.
Automatycznie wyszła mi też inna wysokość H: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{3 \sqrt{3tg ^{2} \alpha -1 } }}\) i objętość: \(\displaystyle{ \frac{a ^{3} }{12 \sqrt{3tg ^{2} \alpha -1 } }}\).
Czy mój wynik jest dobry, pomimo tego, że nie zrobiłem tego przekształcenia, czy gdzieś jest jednak błąd?
Dzięki z góry za pomoc

[Ciamolek]

Jeśli chodzi o przekształcenie:
\(\displaystyle{ tgx= \frac{sinx}{cosx}}\) Podstaw, później pomnóż mianownik przez \(\displaystyle{ cos^{2}x}\), następnie skorzystaj z \(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\), żeby się pozbyć \(\displaystyle{ -cos^{2}x}\) z licznika, a dostać dodatkowy, czwarty \(\displaystyle{ sin^{2}x}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

Co zaś się tyczy wyniku... czasem warto sprawdzać takie rzeczy przez podstawienie konkretnej wartości, żeby zobaczyć czy wychodzi tyle samo.

Pozdrawiam,
Ciamolek

[mdmicky92]

Faktycznie, przekształcenie wyszło prawidłowe, tak samo jak wynik po podstawieniu konkretnej wartości. Dzięki bardzo