Pole powierzchni bocznej ostrosłupa

[mikus54]

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 2 razy większe niż
pole podstawy. Wyznaczyć cosinusy kątów dwuściennych przy krawędzi podstawy oraz
krawędzi bocznej. Sporządzić staranny rysunek.

Proszę o pomoc i rozwiązanie zadanka
Dzięki

[mat_61]

Bardziej chodzi Ci o pomoc czy o rozwiązanie?

Wskazówka:

a - Oznacz długość krawędzi podstawy przez \(\displaystyle{ a}\). Wówczas pole powierzchni ściany bocznej (trójkąta równoramiennego) wynosi \(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{2}}\). Teraz możesz obliczyć wysokość ściany bocznej poprowadzoną od wierzchołka ostrosłupa.

b - Wyznacz drugą z wysokości ściany bocznej.

Miary odpowiednich kątów wyznaczysz dla a) z trójkąta prostokątnego (wysokość ściany bocznej - wysokość ostrosłupa - odcinek łączący środek krawędzi podstawy z środkiem podstawy), dla b) z tw. cosinusów dla trójkąta równoramiennego (przekątna podstawy, odpowiednie wysokości ścian bocznych)

[anna_]

Chyba najpierw musi policzyć wysokość ściany bocznej, a potem pole ściany.

[mat_61]

Raczej nie (bo nie ma danych do obliczenia wysokości).

W zadaniu jest tylko informacja o zależności pomiędzy polem powierzchni podstawy i polem powierzchni bocznej. Dlatego też do obliczeń należy przyjąć jakąś jedną zmienną (ja zaproponowałem długość krawędzi podstawy a) i pozostałe obliczenia prowadzić dla tej zmiennej licząc kolejno:

- pole podstawy: \(\displaystyle{ P_{p}(a)=...}\)
- pole powierzchni bocznej: \(\displaystyle{ P_{b}(a)=...}\)
- pole powierzchni jednej ściany bocznej: \(\displaystyle{ P_{b1}(a)=...}\)
- wysokość ściany bocznej: \(\displaystyle{ h_{1}(a)=...}\)

Teraz przy wyznaczaniu cosinusa kąta dwuściennego przy krawędzi podstawy skróci się zmienna "a" występująca w liczniku i mianowniku.

[anna_]

Mylisz się.

\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ P_p=a^2}\)
\(\displaystyle{ P_b=4 \cdot \frac{ah}{2} =2ah}\)

Z warunków zadania mamy:
\(\displaystyle{ P_b=2P_p}\)
\(\displaystyle{ 2ah=2a^2}\)
\(\displaystyle{ h=a}\)


Poza tym skąd w takim razie miałeś wzór na pole ściany?

a - Oznacz długość krawędzi podstawy przez \(\displaystyle{ a}\). Wówczas pole powierzchni ściany bocznej (trójkąta równoramiennego) wynosi \(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{2}}\). Teraz możesz obliczyć wysokość ściany bocznej poprowadzoną od wierzchołka ostrosłupa.

[mat_61]

Mylisz się.

No jak
Czym różni się to co napisałaś od mojej propozycji ? Ja nie widzę praktycznie żadnej różnicy bo wg moich wskazówek obliczenia wyglądałyby tak:

\(\displaystyle{ P_{p}=a^{2} \\
P_{b}=2P_{p}=2a^{2} \\
P_{b1}= \frac{P_{b}}{4} = \frac{a^{2}}{2} \\
\frac{a \cdot h_{1}}{2} =\frac{a^{2}}{2} \\
h_{1}=a}\)

W swoich oznaczeniach \(\displaystyle{ h}\) "zarezerwowałem" dla wysokości ostrosłupa.

Poza tym skąd w takim razie miałeś wzór na pole ściany?

a - Oznacz długość krawędzi podstawy przez \(\displaystyle{ a}\). Wówczas pole powierzchni ściany bocznej (trójkąta równoramiennego) wynosi \(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{2}}\). Teraz możesz obliczyć wysokość ściany bocznej poprowadzoną od wierzchołka ostrosłupa.

Jak powyżej tzn.: \(\displaystyle{ P_{b1}= \frac{P_{b}}{4}=\frac{a^{2}}{2}}\)

Jak widać różnice sprowadzają się do drobnych i nieistotnych dla poprawności rozwiązania zadania niuansów związanych z samym zapisem.

[anna_]

Chodziło mi o kolejność obliczeń.
Brakowało wyprowadzenia tego pola ściany bocznej.

[mat_61]

Oczywiście, że brakowało zrobionego wprost tego wyprowadzenia, bo to nie było rozwiązanie tylko - jak zaznaczyłem - wskazówki z których miał skorzystać mikus54 i sam coś pokombinować, ale i tak jeszcze trochę pracy mu zostało