Czworościan foremny - dowód

[adambak]

Niech punkt \(\displaystyle{ G}\) będzie środkiem kuli wpisanej w czworościan foremny, a punkt \(\displaystyle{ O}\) – dowolnym punktem wewnątrz tego czworościanu, różnym od punktu \(\displaystyle{ G}\). Niech prosta przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ G}\) przecina płaszczyzny ścian tego czworościanu w punktach \(\displaystyle{ A'}\), \(\displaystyle{ B'}\), \(\displaystyle{ C'}\), \(\displaystyle{ D'}\). Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \frac{A'O}{A'G} + \frac{B'O}{B'G} + \frac{C'O}{C'G} + \frac{D'O}{D'G} = 4}\)



Da się to w ogóle rozwiązać na moim (licealnym) poziomie, da się chociaż to narysować jakkolwiek aby było to pomocne? Bo mi strasznie nie wychodzi, "Stereometria level 20" sobie to nazwałem, za wysoko jak dla mnie niestety ale strasznie jestem ciekawy, ktoś pomoże?

[darek20]

moze to sie przyda
... adania.pdf

[adambak]

bardzo się przyda, właśnie analizuję rozwiązanie (mocne zadanko, nie wpadłbym chyba nigdy..), dziękuję!

[karolk]

macie może jakiś rysunek do tego??
nie mogę sobie jakoś w ogóle wyobrazić jak ta prosta może przcinać ten czworościan w 4 miejscach...

[adambak]

macie może jakiś rysunek do tego??
nie mogę sobie jakoś w ogóle wyobrazić jak ta prosta może przcinać ten czworościan w 4 miejscach...

to byłoby niemożliwe - żeby przecinała czworościan w czterech miejscach..
w zadaniu jest: przecina płaszczyzny ścian tego czworościanu w punktach, a więc istotna różnica, nie ściany a płaszczyzny. Nie zmienia to jednak faktu że narysowanie tego graniczy z cudem (nie wiem jak się zabierać do takich rysunków, jak zaznaczać płaszczyzny) i gdyby ktoś się pokusił o zrobienie tego to byłbym bardzo wdzięczny.. W sumie od tego powinno się zacząć, może to by sprawiło że rozwiązanie stałoby się bardziej jasne..-- 18 kwi 2011, o 17:17 --ale to z olimpiady, więc ludzie dla których to jest nawet nie muszą tego widzieć na kartce, pewnie widzą to w wyobraźni ale może jednak znajdzie się ktoś kto pokaże jak rysować..