czworościan foremny-punkt z jego wnętrza

[pandyzio]

Witam,
mam problem z tym zadaniem:

Mamy czworościan foremny ABCS o krawędzi 1cm. Wybierzmy dowolny punkt P z jego wnętrza. Wykaż, że |AP|+|BP|+|CP|+|SP|≤ 3.



Jeśli ktoś jest w stanie je rozwiązać, to proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[ostryo]

Moze by wrzucic ten czworscian w trojwymiarowy uklad wspolrzednych ?

[pandyzio]

Myślałem o tym.
Ale co potem robić? Tak sobie myślę, dlaczego suma odległości wewnętrznego punktu nie może być większe niż potrojona długość krawędzi, ale na razie nie wiem jak to zrobić.
Muszę się przyznać, że nie mam pojęcia jak zrobić to zadanie. A zaciekawiło mnie
Ktoś ma jakiś pomysł?

[Zimnx]

zbuduj cztery ostroslupy po podstawach w scianach danego czworoscianu i wierzcholku P. Wysokosci beda tymi odleglosciami.

[ostryo]

\(\displaystyle{ \left| AP\right|+\left| BP\right|+\left| CP\right|+\left| SP\right| \le 3}\)
Suma tych odleglosci bedzie rowna 3 gdy punkt \(\displaystyle{ P}\) pokrywa sie z jednym dowolnym wiercholkiem tego czworoscianu. Wtedy odleglosci od pozostalych wiercholkow sa rowne dlugosci krawedzi czyli 1. Teraz trzeba by to jakos pokazac ze to najwieksza odleglosc

Moze to bedzie pomocne

Wierzcholki tego czworoscianu beda nastepujace
\(\displaystyle{ A=( \frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

\(\displaystyle{ B=( -\frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

\(\displaystyle{ C=( \frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

\(\displaystyle{ S=( -\frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

Mozna dosc latwo te wspolrzedne wyznaczyc umieszajac najpierw szescian o krawedzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).
Czworoscian mozna w taki szescian "wlozyc", czesc wiercholkow bedzie wspolna.

[piotrekgie]

\(\displaystyle{ \left| AP\right|+\left| BP\right|+\left| CP\right|+\left| SP\right| \le 3}\)

Wierzcholki tego czworoscianu beda nastepujace
\(\displaystyle{ A=( \frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

\(\displaystyle{ B=( -\frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

\(\displaystyle{ C=( \frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4},\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

\(\displaystyle{ S=( -\frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4},-\frac{ \sqrt{2} }{4})}\)

Mozna dosc latwo te wspolrzedne wyznaczyc umieszajac najpierw szescian o krawedzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).
Czworoscian mozna w taki szescian "wlozyc", czesc wiercholkow bedzie wspolna.

Bez urazy, ale to nawet nie przypomina dowodu założenia. Punkty A,B,C,S są dowolne, punkt P również (z wnętrza). Wrzuciłem to zadanie na zadane.pl "pandyzio" skopiował tutaj i później wszyscy kopiują na zadane.pl cytowaną odpowiedź. Nie tędy droga do rozwiązania. Ale liczę jeszcze, że znajdzie się osoba która potrafi to rozwiązać... (nic skomplikowanego). Pozdrawiam