1.Oblicz pole i objetosc ostroslupa prawidlowego szesciokatnego o krawedzi podstawy 4 i krawedzi bocznej 6
2.
a)oblicz liczbe scian i wierzcholkow ostroslupa jesli wiesz ze ma 14 krawedzi
b)oblicz liczbe krawedzi i wierzcholkow graniastoslupa jesli wiesz ze ma 9 ścian
ostroslup prawidlowy szesciokatny
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
ostroslup prawidlowy szesciokatny
1.
Pole sześciokąta foremnego o boku a wynosi \(\displaystyle{ \frac{a^2 3\sqrt{3}}{2}}\), stąd pole podstawy ostrosłupa \(\displaystyle{ P_p = 24\sqrt{3}}\).
Ściana boczna tego ostrosłupa to trójkąt równoramienny o bokach 4, 6, 6. Pole tego trójkąta łatwo obliczyć ze wzoru Herona lub dzieląc go wysokością na dwa przystające trójkąty prostokątne. Zróbmy tym drugim sposobem. Otóż połowa podstawy (czyli jedna z przyprostokątnych) ma długość 2, krawędź boczna ostrosłupa (czyli przeciwprostokątna) ma długość 6. Wysokość ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}}\). Pole tego trójkąta prostokątnego to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 2\cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2}}\), a zatem pole ściany bocznej ostrosłupa to \(\displaystyle{ 8\sqrt{2}}\). Pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(\displaystyle{ P_b = 6\cdot 8\sqrt{2} = 48\sqrt{2}}\).
Oznaczmy wysokość ostrosłupa przez \(\displaystyle{ H}\). Wtedy ta wysokość (o długości \(\displaystyle{ H}\)), krawędź boczna ostrosłupa (o długości 6) i odcinek łączący ich końce (o długości 4) tworzą trójkąt prostokątny. Stąd \(\displaystyle{ H = \sqrt{6^2-4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}}\).
Ostatecznie: \(\displaystyle{ P = P_b + P_p = 48\sqrt{2} + 24\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = 16\sqrt{15}}\).
2.
Przydatne są wzory:
a) ostrosłup n-kątny ma \(\displaystyle{ n+1}\) wierzchołków, \(\displaystyle{ n+1}\) ścian oraz \(\displaystyle{ 2n}\) krawędzi
b) graniastosłup n-kątny ma \(\displaystyle{ 2n}\) wierzchołków, \(\displaystyle{ n+2}\) ścian oraz \(\displaystyle{ 3n}\) krawędzi
Jeżeli coś jeszcze jest niejasne to pytaj.
Pole sześciokąta foremnego o boku a wynosi \(\displaystyle{ \frac{a^2 3\sqrt{3}}{2}}\), stąd pole podstawy ostrosłupa \(\displaystyle{ P_p = 24\sqrt{3}}\).
Ściana boczna tego ostrosłupa to trójkąt równoramienny o bokach 4, 6, 6. Pole tego trójkąta łatwo obliczyć ze wzoru Herona lub dzieląc go wysokością na dwa przystające trójkąty prostokątne. Zróbmy tym drugim sposobem. Otóż połowa podstawy (czyli jedna z przyprostokątnych) ma długość 2, krawędź boczna ostrosłupa (czyli przeciwprostokątna) ma długość 6. Wysokość ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}}\). Pole tego trójkąta prostokątnego to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 2\cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2}}\), a zatem pole ściany bocznej ostrosłupa to \(\displaystyle{ 8\sqrt{2}}\). Pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(\displaystyle{ P_b = 6\cdot 8\sqrt{2} = 48\sqrt{2}}\).
Oznaczmy wysokość ostrosłupa przez \(\displaystyle{ H}\). Wtedy ta wysokość (o długości \(\displaystyle{ H}\)), krawędź boczna ostrosłupa (o długości 6) i odcinek łączący ich końce (o długości 4) tworzą trójkąt prostokątny. Stąd \(\displaystyle{ H = \sqrt{6^2-4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}}\).
Ostatecznie: \(\displaystyle{ P = P_b + P_p = 48\sqrt{2} + 24\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = 16\sqrt{15}}\).
2.
Przydatne są wzory:
a) ostrosłup n-kątny ma \(\displaystyle{ n+1}\) wierzchołków, \(\displaystyle{ n+1}\) ścian oraz \(\displaystyle{ 2n}\) krawędzi
b) graniastosłup n-kątny ma \(\displaystyle{ 2n}\) wierzchołków, \(\displaystyle{ n+2}\) ścian oraz \(\displaystyle{ 3n}\) krawędzi
Jeżeli coś jeszcze jest niejasne to pytaj.
ostroslup prawidlowy szesciokatny
Czyli ostrosłup ma 8 ścian i 8 wierchołków a graniastosłup ma 21 krawedzi i 14 wierzcholków. Dobrze?
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
ostroslup prawidlowy szesciokatny
Zgadza się.omn91 pisze:Czyli ostrosłup ma 8 ścian i 8 wierchołków a graniastosłup ma 21 krawedzi i 14 wierzcholków. Dobrze?
Nawet nie musisz znać wzorów, wystarczy się chwilę zastanowić. Weźmiesz dowolny ostrosłup, to ma on tyle samo krawędzi podstawy, co krawędzi bocznych, więc jak ma 14 krawędzi, to musi mieć w podstawie siedmiokąt. Podobnie jest z graniastosłupem, tylko że ten ma 2 podstawy, więc musi mieć 2 razy więcej krawędzi podstawy niż bocznych.