zadanie z kiełbaski (obracanie wielokątów)

[Gregory8c5]

W trójkącie ABC |AC|=7, |BC|=8 |kąt ABC|=60° . Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta ABC wokół prostej zawierającej bok |AC|.

Liczę niby dobrą metodą, ale wynik nie wychodzi.... . p.s. rozważcie 2 przpadki

[Lady Tilly]

Z twierdzenia cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ 7^{2}=x^{2}+8^{2}-16xcos60^{o}}\)
otrzymujesz równanie wkwadratowe:
\(\displaystyle{ x^{2}+15-8x=0}\) i gdy \(\displaystyle{ x=5}\) to znaczy trzeci bok, musisz obliczyć wysokość h poprowadzoną z wierzchołka B ze wzoru Herona obliczasz pole i wynosi ono \(\displaystyle{ P=2\sqrt{105}}\) podstawiasz do innego wzoru na pole:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{105}=7h}\)
więc \(\displaystyle{ h=\frac{2\sqrt{105}}{7}}\) figura, która powstanie przez takowy obrót jest sumą dwóch stożków o wspólnej podstawie będącą kołem o promieniu r=h
wysokości tych stożków mają odpowiednio:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2716}}{7}}\) jedna
\(\displaystyle{ 7-\frac{\sqrt{2716}}{7}}\) druga
wobec tego objętość wynosi
\(\displaystyle{ V=60}\) to jest jeden przypadek

[Gregory8c5]

a niestety, błąd

[ Dodano: 29 Grudzień 2006, 16:17 ]
w jednym przypadku wychodzi 400pi/7

[florek177]

Oznaczam bok \(\displaystyle{ AB = a \,\,}\) ; kąt \(\displaystyle{ \,\,ACB = \alpha \,\,}\) ; \(\displaystyle{ cos(\alpha) = k \,\,}\) ; \(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \,\,}\) ; promień stożka \(\displaystyle{ r. \,\,}\)

Z Tw. cosinusów mamy :\(\displaystyle{ a_{1} = 3 \,\,}\) i \(\displaystyle{ \,\, a_{2} = 5 \,\,}\); gdzie: \(\displaystyle{ a_{1} \,\,}\) - dla trójkąta rozwartego, \(\displaystyle{ a_{2} \,\,}\) - dla trójkąta ostrego.

Po obróceniu trójkąta rozwartego, otrzymam stożek o promieniu \(\displaystyle{ r_{1} \,\,}\) i wysokości \(\displaystyle{ ( 7 + x ) \,\,}\) od którego należy odjąć stożek o wysokości \(\displaystyle{ x \,\,}\) , a ostrego - o promieniu \(\displaystyle{ r_{2} \,\,}\) i wysokości \(\displaystyle{ ( 7 - y ) \,\,}\) do którego należy dodać stożek o wysokości \(\displaystyle{ y \,\,}\) .
Z tw. cosinusów bliczam k:

\(\displaystyle{ a_{1}^{2} = 49 + 64 - 2 \cdot 56 \cdot k_{1} \,\,}\) --> \(\displaystyle{ k_{1} = \frac{13}{14} \,\,}\) oraz \(\displaystyle{ a_{2}^{2} = 49 + 64 - 2 \cdot 56 \cdot k_{2} \,\,}\) --> \(\displaystyle{ k_{2} = \frac{11}{14} \,\,}\)

Z układu równań obliczam promienie i wysokości obu stożków.

\(\displaystyle{ r_{1}^{2} = ( 7 + x )^2 + 64 - 16 ( 7 + x ) k_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{1}^{2} + ( 7 + x )^2 = 64}\)

\(\displaystyle{ r_{1} = \frac{12}{7} \sqrt{3} \,\,}\) ;\(\displaystyle{ \,\, x = \frac{3}{7}}\)

analogicznie :

\(\displaystyle{ r_{2} =\frac{20}{7} \sqrt{3} \,\,}\) ;\(\displaystyle{ \,\, y = \frac{5}{7}}\)


\(\displaystyle{ V_{1} = \frac{144}{7} \pi \,\,}\) ; \(\displaystyle{ V_{2} = \frac{400}{7} \pi \,\,}\)

[Gregory8c5]

zgadza się!! dziekuję Panie Florek177. Pozrdawiam

[Majec]

Nie moge za chiny ogarnac tego zadania i podobnych z obrotem trójkątów . Co to jest to (7+x) i (7-y) ?? Glownie to nie wiem jak taki obrot powinien wygladac. Przeciez gdy obrocimy trójkąt wogokol AC to powstaną 2 stożki ,których suma wysokości bedzie równa 7 , więc skąd te 7+x i 7-y ??