Ostrosłup prawidłowy trójkątny - krawędź boczna

franus99 · Post autor: **franus99** » 28 mar 2011, o 14:15

Witam, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania:

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{7}}\) (2 pierwiastek z 7). Miara kata między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa jest równa 60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego wielościanu.

Proszę o pomoc. Pilne
Dziękuje za wszystkie odpowiedzi

aniu_ta · Post autor: **aniu_ta** » 28 mar 2011, o 14:33

Zrób rysunek.

Na rysunku można zobaczyć trójkąt prostokątny o miarach kątów 30 60 90 stworzony z: wysokości \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa, odcinka równego \(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\) wysokości podstawy oraz odcinka będącego krawędzią boczną ostrosłupa.

Korzystając z własności trójkąta specyficznego 30 60 90 (chodzi o długości odcinków \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ 2a}\) i \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\) - mam nadzieję że kojarzysz) można łatwo obliczyć odcinek \(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\) oraz \(\displaystyle{ H}\).

Znając \(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\) obliczamy wysokość podstawy, a następnie krawędź podstawy (bok trójkąta równobocznego), a w końcu pole podstawy.

Znając pole podstawy i wysokość \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa liczymy objętość. Do pola powierzchni całkowitej potrzebujemy jeszcze wysokości ściany bocznej, którą obliczymy z tw. Pitagorasa.

franus99 · Post autor: **franus99** » 28 mar 2011, o 14:50

odcinka będącego krawędzią boczną ostrosłupa.

Ale my w zadaniu mamy podany kąt pomiędzy ścianą boczną a podstawą, a nie krawędzią boczną a podstawą.

aniu_ta · Post autor: **aniu_ta** » 28 mar 2011, o 15:08

A no fakt, proszę wybaczyć. W takim razie zaczynamy od początku:

Mamy trójkąt specyficzny 30 60 90 utworzony z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej i odcinka \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) wysokości podstawy.

Wysokość ostrosłupa wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}h}\).

Teraz spójrz na trójkąt zbudowany z wysokości ostrosłupa, odcinka \(\displaystyle{ \frac{2}{3}h}\) oraz krawędzi bocznej i do tego trójkąta ułóż tw. Pitagorasa. Jak obliczysz wysokość \(\displaystyle{ h}\) podstawy to dalej już powinno być z górki.

h wynosi:

franus99 · Post autor: **franus99** » 28 mar 2011, o 17:42

Dzięki bardzo, wyszło tak jak należy :*

.