Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

[Damieux]

Prostokąt o przekątnej długości d obracamy wokół jednego z jego boków. Podaj, jakie powinien on mieć wymiary, aby objętość powstałej bryły była największa.
Niech a i b będą długościami boków tego prostokąta
Wtedy, np.\(\displaystyle{ a= \sqrt{d ^{2}-b ^{2} }}\)
Objętość tego walca wynosi wtedy: \(\displaystyle{ \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2} }}\) i nie wiem co dalej, nie ma do czego przyrównać i przekształcić na b. Hmm..

[mat_61]

Oblicz pochodną i wyznacz maksimum funkcji \(\displaystyle{ V(b)}\).

[Damieux]

dobrze to robię?:
\(\displaystyle{ \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }= \pi b ^{2}\left( d ^{2}-b ^{2} \right) ^{\frac{1}{2}}}\)=\(\displaystyle{ 2 \pi b\left( d ^{2}-b ^{2} \right) ^{ \frac{-1}{2} }}\)

[mat_61]

Nie za bardzo.
Pomijając to, że nie zaznaczyłeś, że to jest pochodna to pochodną iloczynu liczymy tak:

\(\displaystyle{ \left( f(x) \cdot g(x)\right)' =f(x) \cdot g'(x)+f'(x) \cdot g(x)}\)

Czyli w tym zadaniu powinno być:

\(\displaystyle{ V'(b)=\left( \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right)' = \pi b ^{2} \cdot \left( \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right) '+\left( \pi b ^{2}\right) ' \cdot \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }=...}\)

Ponadto musisz uwzględnić, że:

\(\displaystyle{ \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }}\)

jest funkcją złożoną i wówczas:

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right)'= \frac{1}{2\sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }} \cdot \left( -b^{2}\right)'=...}\)

Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ V'(b)=0}\) nie zapomnij jaka jest dziedzina tej funkcji.

A tak na marginesie to dlaczego tytuł Twojego tematu to: Graniastosłup prawidłowy sześciokątny