Prostokąt o przekątnej długości d obracamy wokół jednego z jego boków. Podaj, jakie powinien on mieć wymiary, aby objętość powstałej bryły była największa.
Niech a i b będą długościami boków tego prostokąta
Wtedy, np.\(\displaystyle{ a= \sqrt{d ^{2}-b ^{2} }}\)
Objętość tego walca wynosi wtedy: \(\displaystyle{ \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2} }}\) i nie wiem co dalej, nie ma do czego przyrównać i przekształcić na b. Hmm..
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Oblicz pochodną i wyznacz maksimum funkcji \(\displaystyle{ V(b)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 423
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 2 razy
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
dobrze to robię?:
\(\displaystyle{ \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }= \pi b ^{2}\left( d ^{2}-b ^{2} \right) ^{\frac{1}{2}}}\)=\(\displaystyle{ 2 \pi b\left( d ^{2}-b ^{2} \right) ^{ \frac{-1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }= \pi b ^{2}\left( d ^{2}-b ^{2} \right) ^{\frac{1}{2}}}\)=\(\displaystyle{ 2 \pi b\left( d ^{2}-b ^{2} \right) ^{ \frac{-1}{2} }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Nie za bardzo.
Pomijając to, że nie zaznaczyłeś, że to jest pochodna to pochodną iloczynu liczymy tak:
\(\displaystyle{ \left( f(x) \cdot g(x)\right)' =f(x) \cdot g'(x)+f'(x) \cdot g(x)}\)
Czyli w tym zadaniu powinno być:
\(\displaystyle{ V'(b)=\left( \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right)' = \pi b ^{2} \cdot \left( \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right) '+\left( \pi b ^{2}\right) ' \cdot \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }=...}\)
Ponadto musisz uwzględnić, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }}\)
jest funkcją złożoną i wówczas:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right)'= \frac{1}{2\sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }} \cdot \left( -b^{2}\right)'=...}\)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ V'(b)=0}\) nie zapomnij jaka jest dziedzina tej funkcji.
A tak na marginesie to dlaczego tytuł Twojego tematu to: Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Pomijając to, że nie zaznaczyłeś, że to jest pochodna to pochodną iloczynu liczymy tak:
\(\displaystyle{ \left( f(x) \cdot g(x)\right)' =f(x) \cdot g'(x)+f'(x) \cdot g(x)}\)
Czyli w tym zadaniu powinno być:
\(\displaystyle{ V'(b)=\left( \pi b ^{2} \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right)' = \pi b ^{2} \cdot \left( \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right) '+\left( \pi b ^{2}\right) ' \cdot \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }=...}\)
Ponadto musisz uwzględnić, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }}\)
jest funkcją złożoną i wówczas:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }\right)'= \frac{1}{2\sqrt{d ^{2}-b ^{2 } }} \cdot \left( -b^{2}\right)'=...}\)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ V'(b)=0}\) nie zapomnij jaka jest dziedzina tej funkcji.
A tak na marginesie to dlaczego tytuł Twojego tematu to: Graniastosłup prawidłowy sześciokątny