graniastoslup prawidlowy czworokatny

[frost]

w graniastoslupie prawidłowym czworokątnym przekątna tej bryły tworzy z płaszczyzną podstawowy kąt alfa=30` oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa,jeżeli pole powierzchni bocznej wyn. 72√6

zadanie w zakresie 3gim bez trygonometri ale calkowicie nie wiem jak sie za nie zabrac, nie pamietam. Wiec licze na Wasza pomoc.

[wb]

a - długość boku kwadratu w podstawie,
h - wysokość graniastosłupa.

Pole powierzchni bocznej:
\(\displaystyle{ P_b=4ah \\ 4ah=72\sqrt6 /:4 \\ ah=18\sqrt6}\)

Przekątna graniastosłupa, krawędź boczna graniastosłupa (wysokość) oraz przekatna podstawy tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy wynosi 30°. Jest to zatem połowa trójkata równobocznego o boku 2h, w którym przekatna podstawy (a√2) jest jego wysokością. Ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
\(\displaystyle{ \frac{2h\sqrt3}{2}=a\sqrt2 \\ h=\frac{a\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{3}}\)

Rozwiązując metodą podstawiania układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}ah=18\sqrt6\\ h=\frac{a\sqrt6}{3}\end{array}}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a=\sqrt{54}=3\sqrt6 \\ h=6 \\ P_c=P_p+P_b=54+72\sqrt6=18(3+4\sqrt6) \\ V=P_p\cdot h=54\cdot 6=324}\)