stosunek promieni kul wpisanej i opisanej

[anuszka]

W stożek o kącie rozwarcia 2 alpha wpisano kulę i na stożku tym opisano kulę.
Wyznacz stosunek długości promieni tych kul.

Czy ktoś ma jakiś pomysł ?

[irena_1]

R- promień kuli opisanej na stożku
r- promień kuli wpisanej w stożek
a- promień podstawy stożka
b- tworząca stożka

Narysuj przekrój osiowy. R to promień okręgu opisanego na trójkącie, r to promień okręgu wpisanego w trójkąt, który jest przekrojem osiowym stożka.
Z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{2a}{sin2\alpha}=2R\\R=\frac{a}{sin2\alpha}}\)

Z pola trójkąta;
\(\displaystyle{ \frac{b^2sin2\alpha}{2}=\frac{2a+2b}{2}\cdot r\\\frac{a}{b}=sin\alpha\\b=\frac{a}{sin\alpha}}\)

Z tej drugiej zależności obliczysz r.