Znajdź objętość ostrosłupa

[zoltrixxxx]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC, zaś wierzchołkiem punkt W. Krawędź CW jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a ściana boczna ABW tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) . Każda ściana boczna ostrosłupa ma pole równe S, a promień kuli wpisanej jest równy R. Znajdź objętość tego ostrosłupa.

[florek177]

błąd w założeniu.

[anna_]

AU

0a41ae2feef02cd4m.png (16.11 KiB) Przejrzano 43 razy

[/url]

Wyznaczam \(\displaystyle{ H}\)
\(\displaystyle{ h_s= \frac{H}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ h_s= \frac{H}{sin\alpha}}\)

Wyznaczam \(\displaystyle{ h_p}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{H}{h_p}}\)
\(\displaystyle{ h_p= \frac{H}{tg\alpha}}\)

Wyznaczam krawędź podstawy \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ S= \frac{ah_s}{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2S}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2S}{\frac{H}{sin\alpha} }}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2S sin\alpha}{H}}\)

Wyznaczam pole podstawy
\(\displaystyle{ P_p= \frac{ah_p}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_p= \frac{\frac{2S sin\alpha}{H} \cdot \frac{H}{tg\alpha}}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_p=S cos\alpha}\)

Obliczam V ostrosłupa
\(\displaystyle{ V_{ABWO}=V_{BCWO}= V_{ACWO}= \frac{1}{3} SR}\)
\(\displaystyle{ V_{ABCO} = \frac{1}{3}P_pR =\frac{1}{3} \cdot S cos\alpha R= \frac{1}{3} SR cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ V_{ABCW}=V_{ABWO} + V_{BCWO} + V_{ACWO} + V_{ABCO}}\)
\(\displaystyle{ V_{ABCW}=3 \cdot \frac{1}{3} SR + \frac{1}{3} SR cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ V_{ABCW}=SR(1+\frac{1}{3}cos\alpha)}\)