To jest dopiero ciekawe zadanie
-
Gregory8c5
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 26 gru 2006, o 10:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Choszczno
To jest dopiero ciekawe zadanie
Do naczynia w kształcie półkuli o danym promieniu R włożono 4 kule o równych promieniach. Okazało się, że płaska pokrywa naczynia jest styczna do każdej z tych kul. Oblicz promień kul umieszczonch w naczyniu.
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
To jest dopiero ciekawe zadanie
Środki kul oraz ich punkty styczności z pokrywą tworzą graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 2r (r - szukany promień) i wysokości r.
W graniastosłupie tym zawarty jest ostrosłup o tej samej podstawie i wierzchołku w środku kuli z której wykonane jest naczynie. Wysokość tego ostrosłupa jest taka sama jak wysokość wspomnianego graniastosłupa.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkata prostokątnego, który składa się z wysokości ostrosłupa r, połowy przekątnej podstawy r √2 jako przyprostokątnych i przeciwprostokątnej, która z warunku styczności wewnętrznej kul wynosi R-r:
\(\displaystyle{ (R-r)^2=r^2+(r\sqrt2)^2}\)
otrzymujemy wynik:
\(\displaystyle{ r=\frac{R}{1+\sqrt3}}\)
W graniastosłupie tym zawarty jest ostrosłup o tej samej podstawie i wierzchołku w środku kuli z której wykonane jest naczynie. Wysokość tego ostrosłupa jest taka sama jak wysokość wspomnianego graniastosłupa.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkata prostokątnego, który składa się z wysokości ostrosłupa r, połowy przekątnej podstawy r √2 jako przyprostokątnych i przeciwprostokątnej, która z warunku styczności wewnętrznej kul wynosi R-r:
\(\displaystyle{ (R-r)^2=r^2+(r\sqrt2)^2}\)
otrzymujemy wynik:
\(\displaystyle{ r=\frac{R}{1+\sqrt3}}\)
