Ostrosłup prawidłowy czworokątny - objętość

[Eldmar]

Dany jest ostroslup czworokatny prawidlowy, o krawedzi bocznej l i kacie dwusciennym \(\displaystyle{ \sphericalangle \alpha}\). Oblicz objetosc tego ostroslupa.

oznaczenia:

\(\displaystyle{ \sphericalangle BFD}\) kąt wewnętrzny
h- ramię kąta wewnętrznego, będąca tym samym wysokością trójkąta BCS
c- wysokość ściany bocznej BCS
a- krawędź podstawy

Z definicji kąta w trójkącie BSO mamy \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{2} }{2\sin\frac{ \alpha }{2}}}\)
Teraz z porównywania pól w trójkącie BCS mamy:
\(\displaystyle{ ac=lh}\)
Stąd wychodzi: \(\displaystyle{ c=\frac{l\sqrt{2} }{2\sin\frac{ \alpha }{2}}}\)
Teraz liczymy a stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BES
\(\displaystyle{ l^{2}=(\frac{1}{2}a)^{2} + c^{2}}\)

Stąd liczymy \(\displaystyle{ a=2l \sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^{2}\frac{\alpha }{2}}\)

Gdy mamy już a,c, to brakuje nam H, które liczymy z trójkąta OES i tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ H=l\ctg\frac{ \alpha }{2}}\)

Jak mamy a, H to policzyć objętość nie jest problemem.
\(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}l^3\ctg\frac{ \alpha }{2}( 1- \frac{1 }{2} \sin^2\frac{ \alpha }{2})}\)

Prosiłbym o sprawdzenie, czy zastosowana metoda jest z matematycznego punktu widzenia poprawna i prowadzi do rozwiązania zadania. Na moim ostatnim tescie, wykonalem takim samym sposobem, lecz profesor mi nie uznała calego zadania, bo nie wykonalem go z podobienstwa trojkatow. Wydaje mi się jednak, że to też jest poprawne, ale chcialbym, zeby ktos dla pewnosci sprawdzil, zanim pojde negocjowac ocene:) Z gory dziekuje i pozdrawiam.

[Qń]

Z definicji kąta w trójkącie BSO mamy \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{2} }{2\sin\frac{ \alpha }{2}}}\)

Raczej w trójkącie \(\displaystyle{ BFO}\).

Stąd liczymy \(\displaystyle{ a=2l \sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^{2}\frac{\alpha }{2}}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ a=2l \sqrt{1-\frac{1}{2\sin^{2}\frac{\alpha }{2}}}\)

Gdy mamy już a,c, to brakuje nam H, które liczymy z trójkąta OES i tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ H=l\ctg\frac{ \alpha }{2}}\)

Prościej z \(\displaystyle{ OCS}\) i wynik raczej będzie inny.

Q.

[Eldmar]

@Qń

Dzięki wielkie, choroba źle przepisałem, nie włączyłem \(\displaystyle{ \sin ^2\frac{ \alpha }{2}}\) do mianownika i mi jakieś farmazony przez to powychodziły :/

Jeszcze raz dziękuję