graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
kurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 lis 2010, o 14:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warmia, Elbląg
Podziękował: 5 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: kurka » 14 mar 2011, o 12:14

Witam,
bardzo proszę o pomoc ponieważ nie mogę ruszyć tych zadań:

Zad.1
Dłuższa przekątna pewnego graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 45^\circ}\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zad.2
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe \(\displaystyle{ 18 \sqrt{3}}\). Krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz pole ściany bocznej.
Ostatnio zmieniony 14 mar 2011, o 13:00 przez kurka, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1466
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 466 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Psiaczek » 14 mar 2011, o 12:22

kurka pisze:Witam,
bardzo proszę o pomoc ponieważ nie mogę ruszyć tych zadań:


Zad.2
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe \(\displaystyle{ 18 \sqrt{3}}\). Krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz pole ściany bocznej.
W podstawie masz sześciokąt foremny - wzór na jego pole , gdy oznaczymy długość boku a:

\(\displaystyle{ S= \frac{6a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) (dlaczego taki -podziel sześciokąt na trójkąty równoboczne)

Gdy podstawisz a=2 otrzymasz \(\displaystyle{ S=6 \sqrt{3}}\). Odejmując otrzymaną wartość pola podstawy od podanego w zadaniu pola powierzchni całkowitej otrzymasz pole ścian bocznych \(\displaystyle{ S _{b}=12 \sqrt{3}}\). Podziel przez ilość ścian bocznych czyli 6 i masz pole jednej ściany.

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Lbubsazob » 14 mar 2011, o 12:28

Zad. 1
* w sześciokącie foremnym o boku \(\displaystyle{ a}\) krótsza przekątna ma długość \(\displaystyle{ a\sqrt3}\), a dłuższa \(\displaystyle{ 2a}\)
* pole sześciokąta foremnego to 6 trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ a}\)
* zauważ, że wysokość bryły, dłuższa przekątna podstawy i dłuższa przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny
* trójkąt prostokątny, w którym jeden kąt ma miarę \(\displaystyle{ 45^\circ}\), jest połową kwadratu

kurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 lis 2010, o 14:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warmia, Elbląg
Podziękował: 5 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: kurka » 14 mar 2011, o 12:59

Psiaczek ślicznie dziękuję za zadanie 2 Wydawało mi się strasznie trudne ale teraz widzę że wcale takie nie było

Lbubsazob pisze:Zad. 1
* w sześciokącie foremnym o boku \(\displaystyle{ a}\) krótsza przekątna ma długość \(\displaystyle{ a\sqrt3}\), a dłuższa \(\displaystyle{ 2a}\)
* pole sześciokąta foremnego to 6 trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ a}\)
* zauważ, że wysokość bryły, dłuższa przekątna podstawy i dłuższa przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny
* trójkąt prostokątny, w którym jeden kąt ma miarę \(\displaystyle{ 45^\circ}\), jest połową kwadratu
No dobrze, to wiem, ale co mi ta wiedza daje?

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Lbubsazob » 14 mar 2011, o 13:18


Z tego, co napisałam wcześniej, można wywnioskować, że przekątna podstawy (dłuższa) i wysokość bryły są sobie równe. Przekątna graniastosłupa ma długość \(\displaystyle{ 4}\) i jest przekątną jakiegoś kwadratu o boku \(\displaystyle{ x}\), gdzie x jest wysokością bryły. Stąd obliczysz bok podstawy, a dalej już wiadomo.

kurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 lis 2010, o 14:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warmia, Elbląg
Podziękował: 5 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: kurka » 14 mar 2011, o 13:35

Przepraszam ale ja dalej tego nie łapię Nie wiem z jakiego wzoru mam sobie obliczyć ten bok podstawy.

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1466
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 466 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Psiaczek » 14 mar 2011, o 13:52

kurka pisze:Przepraszam ale ja dalej tego nie łapię Nie wiem z jakiego wzoru mam sobie obliczyć ten bok podstawy.

Ja nie umiem tutaj wstawiac rysunków Spróbuję ci wytłumaczyć od początku bez nich. Znasz wzór na objętość graniastosłupa? Zależy ona od dwóch rzeczy, pola podstawy i wysokości. Pole podstawy w naszym przypadku zależy tylko od długości boku sześciokąta w podstawie ,bo jest on foremny. Czyli aby rozwiązać zadanie potrzebujesz tylko dwóch rzeczy: wysokości H i krawędzi podstawy a. Gdy je obliczysz to wstawiasz do wzoru na objętość i koniec. Rozumiesz do tej pory?

kurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 lis 2010, o 14:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warmia, Elbląg
Podziękował: 5 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: kurka » 14 mar 2011, o 14:43

Psiaczek pisze: Ja nie umiem tutaj wstawiac rysunków Spróbuję ci wytłumaczyć od początku bez nich. Znasz wzór na objętość graniastosłupa? Zależy ona od dwóch rzeczy, pola podstawy i wysokości. Pole podstawy w naszym przypadku zależy tylko od długości boku sześciokąta w podstawie ,bo jest on foremny. Czyli aby rozwiązać zadanie potrzebujesz tylko dwóch rzeczy: wysokości H i krawędzi podstawy a. Gdy je obliczysz to wstawiasz do wzoru na objętość i koniec. Rozumiesz do tej pory?


Rozumiem

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1466
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 466 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Psiaczek » 14 mar 2011, o 14:51

kurka pisze:
Psiaczek pisze: Ja nie umiem tutaj wstawiac rysunków Spróbuję ci wytłumaczyć od początku bez nich. Znasz wzór na objętość graniastosłupa? Zależy ona od dwóch rzeczy, pola podstawy i wysokości. Pole podstawy w naszym przypadku zależy tylko od długości boku sześciokąta w podstawie ,bo jest on foremny. Czyli aby rozwiązać zadanie potrzebujesz tylko dwóch rzeczy: wysokości H i krawędzi podstawy a. Gdy je obliczysz to wstawiasz do wzoru na objętość i koniec. Rozumiesz do tej pory?


Rozumiem
Dobra to jedziemy dalej
Ten zielony trojkacik przekroju, który ci narysowano parę postów wyżej, gdyby go na płasko narysować na kartce byłby trójkątem prostokątnym równoramiennym. Wiemy o jego przeciwprostokątnej , że ma długość 4. A czym są dwie przyprostokątne , które maja jednakowe długości? Jedna z nich jest wysokością graniastosłupa, a druga - jest "długą przekątną" sześciokąta foremnego tworzącego podstawę. Rozumiesz do tego momentu?

kurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 lis 2010, o 14:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warmia, Elbląg
Podziękował: 5 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: kurka » 14 mar 2011, o 14:57

Tak, rozumiem

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1466
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 466 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Psiaczek » 14 mar 2011, o 15:10

kurka pisze:Tak, rozumiem
To dobrze , bo do końca już nie tak daleko. Oznaczmy wspólną długość tych dwóch przyprostokątnych przez H (to już nie będziemy musieli zmieniać oznaczenia na wysokość)
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ H ^{2}+H ^{2}=4 ^{2}}\)
po obliczeniu wyjdzie nam \(\displaystyle{ H= \sqrt{8}=2 \sqrt{2}}\), czyli wysokość już mamy.
A "długa przekątna" podstawy też ma długość \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\)

A teraz popatrz, że w sześciokącie foremnym podstawy "długa przekątna" jest dwa razy dłuższa od krawędzi boku - podziel sześciokąt na sześć trójkątów to zobaczysz. Czyli gdybyśmy krawędź podstawy oznaczyli a, to mamy \(\displaystyle{ 2a=2 \sqrt{2}}\), czyli \(\displaystyle{ a= \sqrt{2}}\)

Wstaw obliczone H,a do wzoru na objętość \(\displaystyle{ V= \frac{6a ^{2} \sqrt{3} }{4}H}\)
i to juz będzie koniec.

kurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 lis 2010, o 14:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warmia, Elbląg
Podziękował: 5 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: kurka » 14 mar 2011, o 15:17

Psiaczek pisze: Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ H ^{2}+H ^{2}=4 ^{2}}\)
po obliczeniu wyjdzie nam \(\displaystyle{ H= \sqrt{8}=2 \sqrt{2}}\), czyli wysokość już mamy.
A "długa przekątna" podstawy też ma długość \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\)

Aha, to teraz już rozumiem A mógłbyś jeszcze napisać w jaki sposób wyszedł Ci wynik \(\displaystyle{ H= \sqrt{8}}\)? Bo tego nie łapię :/

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1466
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 466 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Psiaczek » 14 mar 2011, o 15:20

kurka pisze:
Psiaczek pisze: Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ H ^{2}+H ^{2}=4 ^{2}}\)
po obliczeniu wyjdzie nam \(\displaystyle{ H= \sqrt{8}=2 \sqrt{2}}\), czyli wysokość już mamy.
A "długa przekątna" podstawy też ma długość \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\)

Aha, to teraz już rozumiem A mógłbyś jeszcze napisać w jaki sposób wyszedł Ci wynik \(\displaystyle{ H= \sqrt{8}}\)? Bo tego nie łapię :/
z Pitagorasa: \(\displaystyle{ 2H ^{2}=16}\) czyli : \(\displaystyle{ H ^{2}=8}\) bierzemy dodatni pierwiastek, gdyż dlugości muszą być dodatnie

kurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 lis 2010, o 14:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warmia, Elbląg
Podziękował: 5 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: kurka » 14 mar 2011, o 15:27

Aha, już wszystko rozumiem.
Czyli że w zadaniu 1 objętość wynosi \(\displaystyle{ 6 \sqrt{6}}\) a w zadaniu 2 pole jednego boku wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\). Czy dobrze obliczyłam?

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1466
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 466 razy

graniastosłup prawidłowy 6kątny, ostrosłup prawidłowy 6kątny

Post autor: Psiaczek » 14 mar 2011, o 15:31

kurka pisze:Aha, już wszystko rozumiem.
Czyli że w zadaniu 1 objętość wynosi \(\displaystyle{ 6 \sqrt{6}}\) a w zadaniu 2 pole jednego boku wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\). Czy dobrze obliczyłam?
Dobrze

ODPOWIEDZ