Ostrosłup i równoległościan

[emilcia2424]

Udowodnij, że suma długości wysokości ścian bocznych ostrosłupa pięciokątnego jest nie
większa niż suma długości jego krawędzi bocznych.

Trzy wychodzące z jednego wierzchołka krawędzie równoległościanu są równe a, b i c. Kra-
wędzie a i b są prostopadłe, a krawędź c tworzy z każdą z nich kąt ostry α. Oblicz objętość
równoległościanu.

Proszę o pomoc, bo tego drugiego zadania nie mogę sobie nawet wyobrazić..

[Aerosmith]

Odświeżam, sam nie jestem do końca pewny tych zadań.

[Errichto]

1.

Ukryta treść:    

Dla każdej ściany bocznej jest trójkąt prostokątny, gdzie przyprostokątne to część podstawy i wysokość ściany bocznej, a przeciwprostokątna to krawędź boczna po lewej (stronie ściany). W szczególności nie będzie to prawda - gdy ściana boczna jest trójkątem prostokątnym. Wtedy wysokość takiej ściany jest większa niż 1 krawędź, równa drugiej krawędzi. Ale nas obchodzi nieostra nierówność, więc nie jest to dla nas problem. Tak otrzymujemy, że kolejne wysokości są nie mniejsze niż krawędzie. Suma też musi być nie mniejsza. c.n.d.
(Na pewno da się to łatwiej ująć.)

2.

Ukryta treść:    

Może coś widać. W sumie to tu też nie ma nic do zauważania. Pole podstawy to \(\displaystyle{ ab}\). Wysokość to \(\displaystyle{ c \sin \alpha}\). Czyli \(\displaystyle{ abc \sin \alpha}\). Koniec.

[norwimaj]

Udowodnij, że suma długości wysokości ścian bocznych ostrosłupa pięciokątnego jest nie
większa niż suma długości jego krawędzi bocznych.

To nieprawda.

Istnieje ostrosłup pięciokątny, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy suma wysokości ścian bocznych jest równa \(\displaystyle{ 5\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}\), natomiast suma długości krawędzi bocznych to \(\displaystyle{ 5}\).

[Errichto]

Skąd trójka?
\(\displaystyle{ 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}\) raczej.

[norwimaj]

Trójka stąd, że każda ściana ma trzy wysokości a nie jedną. Być może autorowi zadania chodziło konkretnie o wysokości opadające na krawędzie podstawy, ale nie zostało to napisane w treści.

[Errichto]

Masz rację.
Błąd w treści. Albo powinno być "rozstrzygnąć czy ..." (ew. udowodnić, że większe zamiast mniejsze) albo jakieś uściślenie co do tego, że nie wszystkie wysokości.

[Aerosmith]

Hmm to już jest chyba doszukiwanie się podtekstów w poleceniu. Bo nie dowodzi się czegoś co jest fałszem, przynajmniej mi się tak wydaję.

Czyli dobrze zrobiłem oba zadanie, o ile w pierwszym nie uwzględniać, że chodziło o wszystkie wysokości.

[norwimaj]

Hmm to już jest chyba doszukiwanie się podtekstów w poleceniu. Bo nie dowodzi się czegoś co jest fałszem, przynajmniej mi się tak wydaję.

Czyli dobrze zrobiłem oba zadanie, o ile w pierwszym nie uwzględniać, że chodziło o wszystkie wysokości.

To nie jest doszukiwanie się podtekstów. Jeśli w treści nie było napisane, o które wysokości chodzi, to albo chodzi o sumę dowolnych dwóch wysokości (buahahaha), albo o sumę wszystkich wysokości. Dlaczego miałoby chodzić o akurat te wysokości, o których Ty sobie pomyślisz?