Stereometria - zadania

[jaga664]

1. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 5 cm. Wyznacz przekątnej graniastosłupa jeśli cosinus kąta nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny ściany bocznej jest równy 0,8.

2. W prostopadłościanie długości krawędzi pozostają w stosunku 1:2:3. Pole powierzchni całkowitej jest równe \(\displaystyle{ 38 cm^{2}}\). Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

3. Wykaż że jeśli pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma się do sumy pól obu podstaw tego graniastosłupa jak \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\): 1, to wysokość graniastosłupa jest dwa razy krótsza od krawędzi podstawy.

4. Jaka jest liczba wierzchołków w podstawie graniastosłupa jeśli graniastosłup ten ma 10 przekątnych? Wykonaj odpowiednie obliczenia.

5. W ostrosłupie prostym trójkątnym dowolne dwie krawędzi boczne tworzą kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\). Wykaż że ostrosłup jest prawidłowy.

6. Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 4, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni. Oblicz długość krawędzi podstawy.

7. W pewnym ostrosłupie trójkątnym wszystkie krawędzi mają taką samą długość równą 3. Wyznacz wysokość tego ostrosłupa.

8. Podstawa ostrosłupa jest trójkąt równoramienny ABC w którym |\(\displaystyle{ \sphericalangle}\)ACB|= 120 stopni. Oblicz DC jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż że jeśli krawędź boczna AD jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), że tg\(\displaystyle{ \alpha}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to płaszczyzna (ABD) tworzy z płaszczyzną (ABC) kąt dwuścienny o mierze 45 stopni.

9. Kulę o promieniu 17 przecięto płaszczyzną i otrzymano koło którego pole wynosi 225\(\displaystyle{ \pi}\) Oblicz odległość tej płaszczyzny od środka kuli.

10. Kolo wielkie kuli ma taką samą średnicę d jak podstawa walca. Ponadto objętość kuli jest równa objętości walca. Wykaż że wówczas między wysokością H walca i średnicą d prawdziwa jest zależność 3H = 2d.

11. Prostokąt o przekątnej 15 cm zwinięto w rulon. Powstała powierzchnia boczna walca, którego wysokość jest równa 9 cm. Oblicz objętość tego walca.

12. Objętość stożka wynosi 100\(\displaystyle{ \pi}\) a tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem którego tangens jest równy 2,4. Wyznacz promień podstawy stożka.

[TheBill]

1. Nie mój rysunek.

Niech \(\displaystyle{ |BH|}\) to nasza przekątna, więc kąt, o którym mowa w zadaniu to np.: \(\displaystyle{ \sphericalangle HBG}\). Trójkąt \(\displaystyle{ HBG}\) jest prostokątny (kat prosty przy wierzchołku \(\displaystyle{ G}\)). Cosinus tego kąta zamień na sinus kąta (z jedynki trygonometrycznej).

2. Oznacz boki: \(\displaystyle{ a, 2a, 3a}\). Wzór na pole powierzchni?