Kula wpisana w stożek ścięty

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
lucask
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 5 kwie 2010, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Kula wpisana w stożek ścięty

Post autor: lucask »

Witam, proszę o wskazówki co do rozwiązania następującego zadania:
W stożek ścięty wpisano kulę. Wiadomo, że pole powierzchni bocznej stożka i pole powierzchni kuli pozostają w stosunku m:n. Wyznacz kąt między tworzącą i podstawą stożka oraz stosunek promieni kuli wpisanej i opisanej na tym stożku.
Pozdrawiam
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Kula wpisana w stożek ścięty

Post autor: anna_ »

Masz może odpowiedzi do tego zadania?
lucask
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 5 kwie 2010, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Kula wpisana w stożek ścięty

Post autor: lucask »

Problem w tym, że nie to jest jakiś starszy zbiór z końca lat 90, z którego mam kserówki i trochę zadań do zrobienia na jutro i nie ukrywam że brak wyników komplikuje sprawę
Jak najprościej wyznaczyć przekątną trapezu będącego przekrojem?
Chyba to byłaby najłatwiejsza droga bo później tylko tw cos do wyznaczenia kąta.Co do stosunku promieni okręgów, opisany wyliczyłbym przy pomocy wzorów herona, natomiast wpisany przy pomocy założeń zadania i warunku wpisania okręgu. Tylko narazie utknąłem z przekątną bo wychodzi kosmos w którym nic nie chce się skrócić...
Pzdr

Edit: Przekątną mam już z pitagorasa, ale po podstawienia do tw. cos dalej nie chce mi to niestety wyjść
Ostatnio zmieniony 8 mar 2011, o 20:17 przez lucask, łącznie zmieniany 1 raz.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Kula wpisana w stożek ścięty

Post autor: anna_ »

\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy górnej stożka
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy dolnej stożka
\(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka
\(\displaystyle{ 2R_k=h}\) - promień kuli wpisanej

Przekrojem jest trapez równoramienny, w który można wpisać okrąg, więc
\(\displaystyle{ 2R+2r=2l \Rightarrow R+r=l}\)

Z Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ h^2=l^2-(R-r)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=(r+R)^2-(R-r)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=4Rr}\)
\(\displaystyle{ (2R_k)^2=4Rr}\)
\(\displaystyle{ R_k^2=Rr}\)

Z warunków zadania
\(\displaystyle{ \frac{\pi l(R+r)}{4 \pi R_k^2} = \frac{(R+r)^2}{4Rr}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(R+r)^2}{4Rr}=\frac{m}{n}}\)

Wyznacz stąd \(\displaystyle{ R}\) lub \(\displaystyle{ r}\)
i licz jakąś funkcję kąta
O ile się nie pomyliłam \(\displaystyle{ cos\alpha= \sqrt{ \frac{m-n}{m} }}\)
ODPOWIEDZ