PozdrawiamW stożek ścięty wpisano kulę. Wiadomo, że pole powierzchni bocznej stożka i pole powierzchni kuli pozostają w stosunku m:n. Wyznacz kąt między tworzącą i podstawą stożka oraz stosunek promieni kuli wpisanej i opisanej na tym stożku.
Kula wpisana w stożek ścięty
Kula wpisana w stożek ścięty
Witam, proszę o wskazówki co do rozwiązania następującego zadania:
Kula wpisana w stożek ścięty
Problem w tym, że nie to jest jakiś starszy zbiór z końca lat 90, z którego mam kserówki i trochę zadań do zrobienia na jutro i nie ukrywam że brak wyników komplikuje sprawę
Jak najprościej wyznaczyć przekątną trapezu będącego przekrojem?
Chyba to byłaby najłatwiejsza droga bo później tylko tw cos do wyznaczenia kąta.Co do stosunku promieni okręgów, opisany wyliczyłbym przy pomocy wzorów herona, natomiast wpisany przy pomocy założeń zadania i warunku wpisania okręgu. Tylko narazie utknąłem z przekątną bo wychodzi kosmos w którym nic nie chce się skrócić...
Pzdr
Edit: Przekątną mam już z pitagorasa, ale po podstawienia do tw. cos dalej nie chce mi to niestety wyjść
Jak najprościej wyznaczyć przekątną trapezu będącego przekrojem?
Chyba to byłaby najłatwiejsza droga bo później tylko tw cos do wyznaczenia kąta.Co do stosunku promieni okręgów, opisany wyliczyłbym przy pomocy wzorów herona, natomiast wpisany przy pomocy założeń zadania i warunku wpisania okręgu. Tylko narazie utknąłem z przekątną bo wychodzi kosmos w którym nic nie chce się skrócić...
Pzdr
Edit: Przekątną mam już z pitagorasa, ale po podstawienia do tw. cos dalej nie chce mi to niestety wyjść
Ostatnio zmieniony 8 mar 2011, o 20:17 przez lucask, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 16323
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3245 razy
Kula wpisana w stożek ścięty
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy górnej stożka
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy dolnej stożka
\(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka
\(\displaystyle{ 2R_k=h}\) - promień kuli wpisanej
Przekrojem jest trapez równoramienny, w który można wpisać okrąg, więc
\(\displaystyle{ 2R+2r=2l \Rightarrow R+r=l}\)
Z Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ h^2=l^2-(R-r)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=(r+R)^2-(R-r)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=4Rr}\)
\(\displaystyle{ (2R_k)^2=4Rr}\)
\(\displaystyle{ R_k^2=Rr}\)
Z warunków zadania
\(\displaystyle{ \frac{\pi l(R+r)}{4 \pi R_k^2} = \frac{(R+r)^2}{4Rr}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(R+r)^2}{4Rr}=\frac{m}{n}}\)
Wyznacz stąd \(\displaystyle{ R}\) lub \(\displaystyle{ r}\)
i licz jakąś funkcję kąta
O ile się nie pomyliłam \(\displaystyle{ cos\alpha= \sqrt{ \frac{m-n}{m} }}\)
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy dolnej stożka
\(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka
\(\displaystyle{ 2R_k=h}\) - promień kuli wpisanej
Przekrojem jest trapez równoramienny, w który można wpisać okrąg, więc
\(\displaystyle{ 2R+2r=2l \Rightarrow R+r=l}\)
Z Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ h^2=l^2-(R-r)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=(r+R)^2-(R-r)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=4Rr}\)
\(\displaystyle{ (2R_k)^2=4Rr}\)
\(\displaystyle{ R_k^2=Rr}\)
Z warunków zadania
\(\displaystyle{ \frac{\pi l(R+r)}{4 \pi R_k^2} = \frac{(R+r)^2}{4Rr}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(R+r)^2}{4Rr}=\frac{m}{n}}\)
Wyznacz stąd \(\displaystyle{ R}\) lub \(\displaystyle{ r}\)
i licz jakąś funkcję kąta
O ile się nie pomyliłam \(\displaystyle{ cos\alpha= \sqrt{ \frac{m-n}{m} }}\)