1. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, w którym podstawa jest wpisana w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=2cm}\), zaś krótsza przekątna tego graniastosłupa wynosi \(\displaystyle{ d=\sqrt{2}}\) cm.
2. Objętość graniastosłupa czworokątnego wynosi \(\displaystyle{ V=96cm^2}\), zaś jego wysokość \(\displaystyle{ h=6cm}\). Oblicz pole przekroju zawierającego krawędź podstawy i nachylonego do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha = 30^{\circ}}\)
Objętość graniastosłupa
Objętość graniastosłupa
Ostatnio zmieniony 6 mar 2011, o 18:04 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Objętość graniastosłupa
1.
Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny. Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych. Połowa dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego jest bokiem trójkąta prostokątnego tak samo jak promień, czyli:
\(\displaystyle{ a=r\\
r=2\mbox{ cm}\\
a=2\mbox{ cm}}\)
Liczymy pole podstawy:
\(\displaystyle{ P_p=6 \cdot \frac{ a^2\sqrt{3} }{4} \\
P_p = 6 \cdot \frac{ 2^2\sqrt{3} }{4}=6 \sqrt{3}\mbox{ cm}^2}\)
Krótsza przekątna graniastosłupa z krótszą przekątną podstawy i wysokością graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny. Krótsza przekątna podstawy \(\displaystyle{ e}\) jest dwa razy dłuższa od wysokości trójkąta równobocznego z których zbudowana jest podstawa, czyli:
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2} \\
e=2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}\\
e=2 \cdot \frac{2 \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{3}\mbox{ cm}\\
d^2=e^2+H^2\\
H= \sqrt{d^2-e^2} \\
H= \sqrt{ \left( \sqrt{2}\right)^2 - \left( 2 \sqrt{3}\right)^2 }\\
H= \sqrt{-10}}\)
Promień albo krótsza przekątna graniastosłupa jest źle podana!!!
Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny. Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych. Połowa dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego jest bokiem trójkąta prostokątnego tak samo jak promień, czyli:
\(\displaystyle{ a=r\\
r=2\mbox{ cm}\\
a=2\mbox{ cm}}\)
Liczymy pole podstawy:
\(\displaystyle{ P_p=6 \cdot \frac{ a^2\sqrt{3} }{4} \\
P_p = 6 \cdot \frac{ 2^2\sqrt{3} }{4}=6 \sqrt{3}\mbox{ cm}^2}\)
Krótsza przekątna graniastosłupa z krótszą przekątną podstawy i wysokością graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny. Krótsza przekątna podstawy \(\displaystyle{ e}\) jest dwa razy dłuższa od wysokości trójkąta równobocznego z których zbudowana jest podstawa, czyli:
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2} \\
e=2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}\\
e=2 \cdot \frac{2 \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{3}\mbox{ cm}\\
d^2=e^2+H^2\\
H= \sqrt{d^2-e^2} \\
H= \sqrt{ \left( \sqrt{2}\right)^2 - \left( 2 \sqrt{3}\right)^2 }\\
H= \sqrt{-10}}\)
Promień albo krótsza przekątna graniastosłupa jest źle podana!!!
-
piti-n
- Użytkownik
- Posty: 534
- Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wroclaw
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 45 razy
Objętość graniastosłupa
2) tu zakładam że jest to graniastosłup czworokątny prawidłowy bo inaczej masz chyba nieskończenie wiele przypadków. A więc do rzeczy.
\(\displaystyle{ V=96cm ^{2}}\)
\(\displaystyle{ h=6cm}\)
\(\displaystyle{ V=a ^{2} \cdot 6=96}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{6}}\)
Mamy długość krawędzi podstawy. Jak sobie to rozrysujesz to wyjdzie Ci że płaszczyzna to prostokąt w tym przypadku. a więc ma dwa boki równe \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) i dwa boki oznaczone przezemnie literą "c". Płaszczyzna przechodzi przez krawędź podstawy i jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 30 ^{o}}\)
Teraz z korzystając z funkcji trygonometrycznych liczymy "c"
\(\displaystyle{ \cos 30= \frac{ \sqrt{6} }{c}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{2 \sqrt{6} }{ \sqrt{3} }= \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }=2 \sqrt{2}}\)
A więc skoro mamy teraz wszystkie boki płaszczyzny liczymy jej objętość.
\(\displaystyle{ P _{p} =2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}=2 \sqrt{12}=4 \sqrt{3}}\)
Chyba dobrze, ale nie jestem pewien. Jak dla mnie brakuje tu określenia co jest w podstawie. Jaki czworokąt.
Co do pierwszego zadania to też przeliczyłem i coś za krótka jest ta krótsza przekątna.
\(\displaystyle{ V=96cm ^{2}}\)
\(\displaystyle{ h=6cm}\)
\(\displaystyle{ V=a ^{2} \cdot 6=96}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{6}}\)
Mamy długość krawędzi podstawy. Jak sobie to rozrysujesz to wyjdzie Ci że płaszczyzna to prostokąt w tym przypadku. a więc ma dwa boki równe \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) i dwa boki oznaczone przezemnie literą "c". Płaszczyzna przechodzi przez krawędź podstawy i jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 30 ^{o}}\)
Teraz z korzystając z funkcji trygonometrycznych liczymy "c"
\(\displaystyle{ \cos 30= \frac{ \sqrt{6} }{c}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{2 \sqrt{6} }{ \sqrt{3} }= \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }=2 \sqrt{2}}\)
A więc skoro mamy teraz wszystkie boki płaszczyzny liczymy jej objętość.
\(\displaystyle{ P _{p} =2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}=2 \sqrt{12}=4 \sqrt{3}}\)
Chyba dobrze, ale nie jestem pewien. Jak dla mnie brakuje tu określenia co jest w podstawie. Jaki czworokąt.
Co do pierwszego zadania to też przeliczyłem i coś za krótka jest ta krótsza przekątna.