Stożek przekrój osiowy

[matmat]

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o wysokości 6. W stożek wpisujemy różne graniastosłupy prawidłowe trójkątne tak, że jedna podstawa graniastosłupa jest zawarta w podstawie stożka, a wierzchołki drugiej leżą na powierzchni bocznej stożka. Wyznacz wymiary takiego graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej jest największe.

Proszę o całościowe rozwiązanie tego zadania. Zupełnie tego nie rozumiem

-- 1 mar 2011, o 22:34 --

wytłumaczy ktoś to zadanko ??-- 1 mar 2011, o 23:01 --????

[bakala12]

Wysokość stożka to \(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}}\)
Na wysokości h od podstawy obieramy trójkąt równoboczny który będzie podstawą górną graniastosłupa.
Niech r będzie promieniem okręgu opisanego na podstawie górnej i a będzie długością boku podstawy graniastosłupa. Mamy zależność
\(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\), a stąd \(\displaystyle{ a=2r \sqrt{3}}\)
Z podobieństwa trójkątów mamy też równość:
\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} -h}{r}= \frac{3 \sqrt{3} }{3}}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ h=(3-r) \sqrt{3}}\)
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to \(\displaystyle{ 3ah}\)
Więc \(\displaystyle{ P=3 \cdot 2r \sqrt{3} \cdot (3-r) \sqrt{3}}\)
I znajdujemy maksimum tej funkcji kwadratowej.