Wzory na objętość i pole powierzchni kuli.

[wahadło]

Czy wzory na objętość i pole powierzchni kuli da się jakoś wyprowadzić czy one po prostu są (empirycznie sprawdzono i nie podlega to wyprowadzeniu)....?
POzDRO

[Piotr Rutkowski]

Na objętość nie jest tak strasznie. Można zrobić z twierdzenia o trzech ciągach. Wypełniasz półkulę walcami, później robisz tak samo drugi raz, ale tym razem robisz je trochę szersze (podstawa n-tego walca jest teraz tam, gdzie była podstawa n+1 walca). Jak wyliczysz granice dla obu tych sytuacji, to wyjdzie Ci właśnie wzór na objętość kuli z twierdzenia o trzech ciągach. Jeśli chodzi o pole powierzchni to nie jest już tak różowo. Niestety nie jestem w tej dziedzinie ekspertem, więc chciałbym aby wypowiedział się jakiś student matematyki, ale wydaje mi się, że trzeba tu skorzystać z dywergencji. Jeśli chodzi o jakieś dużo prostsze sposoby to przypomina mi się taki jeden mały trik. Wyobraź sobie kulę jako n nibyostrosłupów o wysokości równej promieniowi kuli, gdzie n dązy do nieskończoności. Objętość tej kuli będzie wtedy równa sumie objętości tych ostrosłupów (wszystkie mają być takie same). Wtedy \(\displaystyle{ V_{kuli}=\frac{1}{3}*(P_{p}+P_{p}+...+P_{p})*H}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{p}}\) to jest pole podstawy jednego ostrosłupa. Z tego wynika, że \(\displaystyle{ V_{kuli}=\frac{1}{3}*r*P_{powierzchni kuli}}\), bo suma pól podstaw sumuje się na pole powierzchni kuli, natomiast H=r. Jak podstawisz sobie do wzoru na objętość kuli, to Ci wyjdzie wzór na pole powierzchni, a wzór na objętość mamy wyprowadzony z twierdzenia o trzech ciągach. Jeśli chodzi o wyprowadzenie wzoru na objętość ostrosłupa, to też się da (chyba) wyprowadzić z twierdzenia o trzech ciągach, z tymże wypełniając go prostopadłościanami zamiast płaskich walców.
Powodzenia