Ostrosłup prawidłowy kula wpisana

[djlinux]

W ostrosłupie prawidłowym wysokość ma długość h, a miara kąta dwuściennego przy podstawie jest równa \(\displaystyle{ \frac {\pi}{3}.}\) Wyznacz długość promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Nie wiedząc jaka figura foremna jest w podstawie, w jaki sposób mogę do tego zadania podejść ?

[kropka+]

W ostrosłupie prawidłowym zawsze w podstawie jest wielokąt foremny, czyli taki, w który można wpisać okrąg. Masz w przekroju trójkąt prostokątny o przyprostokątnych h i r oraz danym kącie między r i przeciwprostokątną. Z jakiej funkcji trygonometrycznej skorzystasz?

[TheBill]

Nie wiem co z tego wyliczysz, poza tym wydaje mi się, że kąt "między r i przeciwprostokątną" nie jest kątem dwuściennym.

[kropka+]

Już lepiej? Przeciwprostokątna to wysokość ściany bocznej. Otrzymuję więc przekrój ostrosłupa będący trójkątem równoramiennym o podstawie 2r i wysokości h. Trzeba znaleźć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Jest on jednocześnie promieniem kuli wpisanej w ostrosłup.

[TheBill]

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, też trójkąt równoramienny jest przekrojem?

[kropka+]

Nie jest, ale obliczenia są poprawne również dla wielokątów foremnych o nieparzystej wielkości boków - środek kuli wpisanej w ostrosłup foremny leży na wysokości ostrosłupa, na płaszczyźnie przedstawiamy to tak, że środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny (ramiona to wysokości ścian ostrosłupa) leży na wysokości opadającej na podstawę tego trójkąta. W trójkącie równobocznym można sciąć wierzchołki tak, by powstał sześciokąt foremny i promień kuli się nie zmieni.

[TheBill]

na płaszczyźnie przedstawiamy to tak, że środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny (ramiona to wysokości ścian ostrosłupa) leży na wysokości opadającej na podstawę tego trójkąta.

Na pewno? Coś tutaj nie pasuje.
Dalej sobie nie mogę wyobrazić, jak to będzie dla ostrosłupa prawidłowego trójkątnego... wg Ciebie ramionami będą wysokości ścian ostrosłupa?

[kropka+]

Wysokości nie ruszamy. Zamiast trzech ścian będzie sześć o krótszych podstawach i tych samych wysokościach (odchudzimy i rozmnożymy ściany boczne). Wierzchołek ostrosłupa pozostaje tam gdzie był, więc wysokości ścian ani wysokość ostrosłupa się nie zmienią.