Optymalizacyjne z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym

[marcinek16marcin]

Objetość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi V. Jaka musi być jego wysokość aby jego pole boczne było najmniejsze?

[Justka]

H-wys. ostrosłupa, h-wys. ściany bocznej, a-dł. krawędzi podstawy

1. \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2H \ \Rightarrow \ a=\sqrt{\frac{3V}{H}}}\)
2. \(\displaystyle{ H^2+\frac{a^2}{4}=h^2}\)
3. \(\displaystyle{ P_b=2ah}\)

I dalej \(\displaystyle{ P_b=2a \sqrt{H^2+\frac{a^2}{4}}= 2\sqrt{\frac{3V}{H}} \cdot \sqrt{H^2+\frac{3V}{4H}}=2\sqrt{3VH+\frac{9V^2}{4H^2}}}\)

Wystarczy znaleźć dla jakich H funkcja \(\displaystyle{ f(H)=3VH+\frac{9V^2}{4H^2}}\) przyjmuje wartość najmniejszą.