Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[R33]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 25, a krawędź podstawy ma długość 30. Wyznacz promień:
a) kuli wpisanej w ten ostrosłup
b) kuli opisanej na tym ostrosłupie

[florek177]

a) w trójkąt: bok podstawy i wysokości ścian bocznych, wpisujesz okrąg
b) w okrąg wrysowujesz trójkąt: przekątna podstawy i krawędzie;

[R33]

czy w a) \(\displaystyle{ \frac{1}{3}H = r}\)
w b) \(\displaystyle{ \frac{2}{3}H=r}\)?

[florek177]

wyniki wzięte z sufitu - pokaż, jak to liczyłeś; zrobiłeś rysunki?

[R33]

Napisałeś tam w podpunktach i na podstawie tego:
a) Wyliczyłem wys. ściany bocznej z Pitagorasa. Wyszło 20 (15 to połowa krawędzi podstawy).
\(\displaystyle{ h^{2}= 25^{2} - 15^{2} \\ h=20}\)
Obliczyłem następnie wys. ostrosłupa:
\(\displaystyle{ H^{2}=20^{2}-15^{2} \\ H = 5 \sqrt{7}}\)
No i to jest ta wys. tego trójkąta opisanego na okręgu. Pomnożyłem ją razy 1/3 bo taką wart. ma chyba promień*.

b) Wziąłem trójkąt równoramienny. Ramiona po 25, a podstawa to przekątna kwadratu czyli \(\displaystyle{ 30 \sqrt{2}}\)
No i z tego obliczyłem wys. z Pitagorasa (ramię i połowa podstawy). i pomnożyłem to razy 2/3, no bo taką wart. ma promień okręgu opisanego*.
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot \sqrt{25^{2} - (15\sqrt{2})^{2}}}\)

* chyba, że dotyczy to tylko trójkąta równobocznego?

[florek177]

dotyczy to tylko trójkąta równobocznego.
dalej liczysz z podobieństwa trójkątów.

[R33]

A jak to zrobić z tego podobieństwa?

[florek177]

prostopadle do ramienia prowadzisz promień i masz 2 trójkąty prostokątne podobne. Dla odpowiednich boków układasz proporcję.

[R33]

To wtedy będę miał z tego poprowadzonego promienia jakby wys. trójkąta?

A można to obliczyć z tych wzorów:
\(\displaystyle{ P = \frac{abc}{4R} \\ P = \frac{r (a+b+c)}{2}}\)

[florek177]

Jeżeli masz potrzebne dane to można.