Ostrosłup trójkatny prawidłowy

[R33]

Oblicz długość krawędzi \(\displaystyle{ a}\) podstawy ostrosłupa trójkątnego prawidłowego którego objętość jest równa \(\displaystyle{ V}\) a krawędź boczna jest 3 razy dłuższa niż krawędź podstawy.

[Lbubsazob]

Oznacz krawędź boczną jako \(\displaystyle{ 3a}\), potem z Pitagorasa oblicz wysokość ściany bocznej w zależności od \(\displaystyle{ a}\), a potem patrzysz na trójkąt prostokątny: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy, wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej. Z Pitagorasa dostaniesz wysokość ostrosłupa w zależności od \(\displaystyle{ a}\) i na koniec wyznacz bok podstawy w zależności od objętości \(\displaystyle{ V}\).

[R33]

A dlaczego 1/3 ?

-- 26 lutego 2011, 20:47 --

Wyszło mi:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{\frac{72 \sqrt{3}V}{939}}}\)
A powinno:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{\frac{6 \sqrt{26}V}{13}}}\)

[Lbubsazob]

No to po kolei.
Wysokość ściany bocznej wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{35}}{2}a}\).
Potem jak wyliczasz z Pitagorasa wysokość ostrosłupa, to masz \(\displaystyle{ \left( \frac{a\sqrt3}{6} \right)^2+H^2=\left( \frac{\sqrt{35}}{2}a \right)^2}\) i z tego ma wyjść \(\displaystyle{ H= \frac{\sqrt{26}}{\sqrt3}a}\).
Podstawiając do wzoru mamy: \(\displaystyle{ V= \frac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt3}a = \frac{a^3\sqrt{26}}{12}}\).
Wyznaczając z tego \(\displaystyle{ a}\), po skróceniu i usunięciu niewymierności zostaje \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{\frac{6\sqrt{26}V}{13} }}\).

Jeszcze sprawdź co Ci się nie zgadzało w obliczeniach. A w zasadzie można było to prościej obliczyć, patrzysz na trójkąt prostokątny, w którym masz \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości podstawy, wysokość ostrosłupa i krawędź boczną, wyjdzie to samo.
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości, bo patrzysz na to licząc od wierzchołka podstawy, jak patrzysz od podstawy trójkąta to masz \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).