Obliczyć kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podst.

[dżi-unit]

Dany jest czworokątny ostrosłup prawidłowy, w którym płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa dzieli powierzchnię boczną ostrosłupa na dwie części o równych polach. Oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
odp: 45*

[florek177]

skąd masz to zadanie ? Robiłem go chyba 2 lata temu, jest długie i skomplikowane, ponad 2 strony obliczeń. Wyższy poziom mat-fiz.
Jak znajdę jutro notatki to napiszę.

[dżi-unit]

takie dostaliśmy do domu na lekcji matmy, przygotowanie przed maturą.

[florek177]

Znalazłem, ale to było w wersji podziału całkowitej powierzchni ostrosłupa. Podział powierzchni bocznej jest krótszy i ma mniej obliczeń.
Oznaczamy: ostrosłup - ABCDS; płaszczyzna połowiąca powierzchnię - AGHD; ściana boczna BCS ma wysokość SF i trójkąt podobny - SGH o wysokości - SP. Szukany kąt: \(\displaystyle{ \sphericalangle FES = \alpha \,\,\,}\); krawędź podstawy - a.

wyznaczamy skalę podobieństwa: \(\displaystyle{ \,\,\, k = \frac{|SP|}{|SF|} \,\,\,\,}\), którą uzależnimy od \(\displaystyle{ \,\,\, \alpha}\).

Rysujemy trójkąt EFS ; wrysowujemy dwusieczną kąta E - |EP|i wysokość - |SO|.

\(\displaystyle{ \sphericalangle PES = \frac{\alpha}{2} ; \sphericalangle ESO = \frac{\pi}{2}- \alpha ; \sphericalangle ESF = \pi - 2 \, \alpha \,\,\, \rightarrow \sphericalangle EPS = ..... = \frac{3 \, \slpha}{2} \, \alpha \,\,\,}\) ;

Do trójkąta SEP stosujemy tw. sinusów: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{|SP|}{sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{|SE|}{sin(\frac{3 \, \alpha}{2})} \,\,\,\, \rightarrow k = \frac{|SP|}{|SF|} = \frac{|SP|}{|SE|} = \frac{sin(\frac{\alpha}{2})}{sin(\frac{3 \, \alpha}{2})} \,\,\,}\); (1)

Zapisujemy równanie pola: \(\displaystyle{ \,\,\, P_{GHS} + P_{AGS} + P_{DHS} + P_{ADS} = \frac{1}{2} \cdot \, 4 \cdot P_{BCS} = 2 \cdot P_{BCS} \,\,\,}\) ; (2)

Kolejno rozpatrujemy pola z lewej strony równości:

1. trójkąty BCS i GHS są podobne: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{P_{GHS}}{P_{BCS}} = k^{2}}\) ;

2. \(\displaystyle{ \frac{P_{AGS}}{P_{ABS}} = \frac{P_{ABS} - P_{ABG}}{P_{ABS}} = 1 - \frac{P_{ABG}}{P_{ABS}} = 1 - \frac{\frac{1}{2}\, a \, |BG| \, sin( \sphericalangle ABS)}{\frac{1}{2}\, a \, |BS| \, sin( \sphericalangle ABS)} = 1 - \frac{|BG|}{|SB|} = 1 - \frac{|SB| - |SG|}{|SB|} = \frac{|SG|}{|SB|} = \frac{|SP|}{|SF|} = k}\)

ponieważ: \(\displaystyle{ \,\,\, P_{ABS} = P_{BCS} \rightarrow \frac{P_{AGS}}{P_{BCS}} = k}\)

3. analogicznie jak 2. \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{P_{DHS}}{P_{BCS}} = k}\)

Podstawiamy kolejno do (2) i po uproszczeniu otrzymujemy równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ \,\,\, k^{2} +2 \, k -1 = 0 \,\,\,\,}\) --> podstawiamy (1) i rozwiązujemy równanie trygonometryczne.

otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)