Prostopadłościan wpisany w walec

[djlinux]

W walec wpisano prostopadłościan, którego dłuższa krawędź podstawy ma długość k. Przekątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a ze ścianą boczną zawierającą krawędź podstawy tworzy kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Wyznacz pole powierzchni bocznej walca.


Oznaczenia:
d - przekątna podstawy prostopadłościanu
D - przekątna prostopadłościanu
H - wysokość prostopadłościanu

Zaczynam od tego, że \(\displaystyle{ P_b = 2 \pi R H}\)
Wiem , że przekątna podstawy jest równa właśnie \(\displaystyle{ d = 2R}\)
W podstawie mam prostokąt, więc piszę takie równania:
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac {d}{D} \\
\sin \alpha = \frac {H} {D} \\
\cos \beta = \frac {k} {D} \\
P_b = \frac {\pi k^2 \sin \alpha \cos \alpha} {\cos ^2 \beta}}\)
Wynik w odpowiedzi to :
\(\displaystyle{ P_b = \frac {\pi k^2 \sin 2\alpha} {2 (\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta)}}\)
Pomijając wzór na podwojony sinus, nie zgadza mi się mianownik, może ktoś mi wskazać błąd?

[anna_]

masz źle zaznaczony kąt \(\displaystyle{ \beta}\), u Ciebie to kąt między przekątną prostopadłościanu a krawędzią podstawy.

Tymczasem \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt między przekątną prostopadłościanu a przekątną ściany bocznej, której krawędź podstawy jest równa \(\displaystyle{ k}\)