Przekątna prostopadłościanu tworzy z kazdą ścianą boczną kąt o mierze alfa.
a) Uzasadnij, ze podstawa tego prostopadłościanu jest kwadratem.
b) Wykaż, ze jezeli beta jest miarą kątanachylenia przekątnej prostopadłoscianu do płaszczyzny podstawy to \(\displaystyle{ 2cos^2\alpha +cos^2 \beta=2}\)
Prostopadłościan
Prostopadłościan
moja pierwsza porada wiec mówcie jak coś zrobie źle ;P
niech a, b krawędzie podstawy, d- przekątna prostopadłościanu
a) zrób sobie ładny rysunek i zaznacz przekątną i kąty ( kąt \(\displaystyle{ /alpha}\) to kąt między przekątną prostopadłościanu a przekątną ściany bocznej) - policzymy długość jednej krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a = d sin\alpha}\) i drugiej \(\displaystyle{ b = d sin\alpha}\) => b=a c.n.d (skoro jest to prostopadłościan to nie może mieć rombów w podstawach ;P )
b) \(\displaystyle{ L: 2cos^2\alpha + cos^2\beta = 2(1-sin^2\alpha) + cos^2\beta= 2 - 2sin^2\alpha + cos^2\beta}\) i teraz tak: \(\displaystyle{ sin\alpha = a/d}\) a ponieważ kąt beta jest miedzy przekątna prostopadłościanu a przekątna podstawy (o długości \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)) to \(\displaystyle{ cos\beta = a \sqrt{2}/d}\). Po wstawieniu do równania i zredukowaniu otrzymujemy L=P
niech a, b krawędzie podstawy, d- przekątna prostopadłościanu
a) zrób sobie ładny rysunek i zaznacz przekątną i kąty ( kąt \(\displaystyle{ /alpha}\) to kąt między przekątną prostopadłościanu a przekątną ściany bocznej) - policzymy długość jednej krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a = d sin\alpha}\) i drugiej \(\displaystyle{ b = d sin\alpha}\) => b=a c.n.d (skoro jest to prostopadłościan to nie może mieć rombów w podstawach ;P )
b) \(\displaystyle{ L: 2cos^2\alpha + cos^2\beta = 2(1-sin^2\alpha) + cos^2\beta= 2 - 2sin^2\alpha + cos^2\beta}\) i teraz tak: \(\displaystyle{ sin\alpha = a/d}\) a ponieważ kąt beta jest miedzy przekątna prostopadłościanu a przekątna podstawy (o długości \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)) to \(\displaystyle{ cos\beta = a \sqrt{2}/d}\). Po wstawieniu do równania i zredukowaniu otrzymujemy L=P