trzy bryły w sobie

[major37]

W dany ostrosłup prawidłowy, którego podstawą jest kwadrat o boku a, wpisano kule oraz stożek styczny do kuli i ścian ostrosłupa, którego wierzchołkiem jest wierzchołek ostrosłupa. Wiedząc, że ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem alpha , wyznacz stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola kuli. Ja to zadanie liczyłem już kilka razy na kilka sposobów i nic mi nie wychodzi. Dzięki za pomoc i jakieś wskazówki.

[anna_]

Stożek:
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}a}\)
\(\displaystyle{ l}\) policzysz z \(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \frac{1}{2}a }{l}}\)

Kula
Promień policzysz z Promień okręgu wpisanego w trójkąt
\(\displaystyle{ r= \frac{2P_{trojkata}}{a+2l}}\)
(boki trójkąta to a,l,l. Wysokość trójkąta to wysokość ostrosłupa, da się policzyć z cosinusa)

Masz może do tego odpowiedź?

[major37]

Mam. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola kuli wynosi frac{(1-cosalpha)^2}{4cosalpha sin^2 alpha}

[anna_]

Wysokość trójkąta oczywiście z sinusa, a nie cosinusa.

Możesz sprawdzić wynik?
Wyszło mi
\(\displaystyle{ \frac{(cos\alpha+1)^2}{4cos\alpha sin^2\alpha}}\)

[major37]

Ten wynik w liczniku w nawiasie to powinien być (1-cos alpha )-- 21 lut 2011, o 16:07 --no i do kwadratu nawia tak jak Ty masz tylko to w nawiasie inaczej

[anna_]

No właśnie, albo w książce jest błąd, albo ja gdzieś go zrobiłam. Niestety nie mogę go znaleźć.

Rób według wskazówek z poprzedniego posta. Sprawdzimy wyniki.

[major37]

A jaka Ci wyszła tworząca stożka ? Bo ja w tym lateksie się nie łapie i ciężko mi pisać

[anna_]

\(\displaystyle{ l= \frac{a}{2 cos\alpha}}\)

[major37]

Mi inna. A średnice kuli jaką masz ?

[anna_]

Jak z tego:
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \frac{1}{2}a }{l}}\)
mogła wyjść inna tworząca?

\(\displaystyle{ R_{kuli}= \frac{a sin\alpha}{2(cos\alpha+1)}}\)

[major37]

Ja liczyłem tak jak mi wója podał i w liczniku mam a(1-cosalpha) a w mianowniku 2cosalpha (1+cosalpha) Tak mi wyszło z wyliczeń co wója mi powiedział od czego zacząć i z czego skorzystać. A promień kuli mi się zgadza z Tobą:)-- 21 lut 2011, o 20:57 --I później z podobieństwa trójkątów wyznaczyłem znowu promień kuli i porównując otrzymałem równanie z którego wyznaczyłem tworzącą stożka

[anna_]

No to jak Ci wyszło jak w odpowiedzi to rób swoim sposobem.

[major37]

No już wiem chyba gdzie masz błąd. tgalpha=frac{h}{frac{1}{2}} a cosalpha =frac{R}{h-R} no i jeszcze cosalpha=frac{frac{1}{2}a}{w} gdzie w to jest wysokość ściany bocznej prowadzona z wierzchołka ostrosłupa. Można tak zakładać ?

[anna_]

Po konsultacji ze specjalistą informuję, że bład jest w odpowiedzi, a nie w moim rozwiązaniu.

Prawidłowy wynik to
\(\displaystyle{ \frac{(cos\alpha+1)^2}{4cos\alpha sin^2\alpha}}\)