Ostrosłup prawidłowy trójkątny

[lucask]

Witam, mam następujące zadanie:

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, wiedząc, że kąt ściany bocznej przy wierzchołku ma miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\), a promień okręgu opisanego na ścianie bocznej ma długość R

Czy mogę skorzystać z twierdzenia o długości krawędzi ostrosłupa na podstawie którego opisano koło, traktując ścianę boczną jako podstawę? Wynikałoby z tego że jest to czworościan foremny. Proszę o wskazówki.

Pozdrawiam

[anna_]

To nie będzie czworościan foremny.

skorzystaj z tego, że
Promień okręgu opisanego na trójkącie
\(\displaystyle{ R=\frac{ab^2}{4 P_{trojkata}}}\)
i wzór na pole ściany z sinusen kąta

[lucask]

Dziękuję za pomoc, proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania:

AU

91f2b3b18a9fea22m.jpg (2.76 KiB) Przejrzano 112 razy

[/url]
\(\displaystyle{ P= \frac{b ^{2}}{2}sin2 \alpha \\
R= \frac{ab ^{2}}{4P}\\
R= \frac{ab ^{2}}{2b ^{2} sin2 \alpha }=\frac{a}{2sin2 \alpha } \Rightarrow a=2Rsin2 \alpha \\
tg \alpha = \frac{ \frac{a}{2} }{h} \Rightarrow h= \frac{a}{2tg \alpha }\\
H ^{2}+ (\frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3}}{2})^{2}=h^{2}\\
H= \sqrt{ \frac{a^{2}}{4tg^{2} \alpha } - \frac{3a^{2}}{36}}=\sqrt{ \frac{a^{2}}{4tg^{2} \alpha } - \frac{a^{2}}{12}}=\sqrt{ \frac{12a^{2}-4a^{2}tg^{2} \alpha }{48tg^{2} \alpha }} = \sqrt{ \frac{3-tg^{2} \alpha }{12} } \frac{a}{tg \alpha }\\
V= \frac{1}{3} Pp H \\
V=\frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3} }{4} \sqrt{ \frac{3-tg^{2} \alpha }{12} } \frac{a}{tg \alpha }\\
V= \frac{R^{3}sin^{3}2\alpha}{3tg \alpha } \sqrt{{3-tg^{2} \alpha }}\\
Pc= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \frac{a^{2}}{2tg \alpha}= a^{2} \frac{ \sqrt{3}tg \alpha +6 }{4tg \alpha }=4R^{2}sin^{2} 2\alpha \frac{ \sqrt{3}tg \alpha +6 }{4tg \alpha }\\
Pc=R^{2}sin^{2} 2\alpha \frac{ \sqrt{3}tg \alpha +6 }{tg \alpha }}\)

Pozdrawiam Łukasz

[anna_]

\(\displaystyle{ H ^{2}+ (\frac{1}{3} \frac{a ^{2} \sqrt{3}}{4})^{2}=h^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3}}{4}}\)<-- to pole trójkąta równobocznego, a nie jego wysokość

[lucask]

Błąd przy przepisywaniu z papieru, reszta została bez zmian, czy sam wynik jest poprawny?

[anna_]

Nie możesz zostawić \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ H}\) w takiej postaci. Musisz je uzależnić od \(\displaystyle{ R,}\) a nie \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ a=2Rsin2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{a}{2tg \alpha }= \frac{2Rsin2 \alpha }{2tg\alpha}= \frac{Rsin2 \alpha }{tg\alpha}= \frac{2Rsin\alpha cos\alpha}{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha} } = 2R cos^2\alpha}\)

[lucask]

Za \(\displaystyle{ a}\) podstawiłem dopiero na końcu rozwiązania, licząc objętość, by nie operować na większej ilości znaków na wcześniejszych etapach, nie jest to chyba błąd...?

[anna_]

Mnie uczono, żeby uzależniać wielkości od danych.

Wydaje mi się, że masz błąd w wyliczeniu \(\displaystyle{ H}\)

Nie powinno być czasem:
\(\displaystyle{ H= \sqrt{ \frac{3-tg^{2} \alpha }{12} } \frac{a}{tg \alpha }}\)

?

[lucask]

Poprawiono, chyba więcej błędów nie ma?

[anna_]

Nie zmieniłeś wartości \(\displaystyle{ H}\) w objętości.

[lucask]

\(\displaystyle{ V=\frac{a^{3} \sqrt{3} }{12 tg \alpha } \sqrt{ \frac{3-tg^{2} \alpha }{12} }=\frac{(2Rsin2 \alpha)^{3} \sqrt{3} }{12 tg \alpha } \frac{\sqrt{3-tg^{2}} \alpha }{2 \sqrt{3}}\\
V= \frac{R^{3}sin^{3}2\alpha}{3tg \alpha } \sqrt{{3-tg^{2} \alpha }}\)

[anna_]

Ups, ty, razem ja miałam błąd.
Jest ok.

[lucask]

Dziękuję i pozdrawiam