przekatne rownolegloscianu

[mrowcia92]

Uzasadnij, że w każdym równoległościanie suma kwadratów przekątnych równa się sumie kwadratów wszystkich jego krawędzi.
Probuje tutaj cos z tw. cosinusow ale nie potrafie

[piasek101]

9317.htm

[mrowcia92]

hmmm nie rozumiem tego za bardzo bo przeciez musze przekatne podstawy uzyc

[piasek101]

Szukaj - było jeszcze w kilku miejscach.

[man_of_the_oak]

Jako, iż nikt do tej pory nie zamieścił pełnego rozwiązania, nieopartego na wektorach...

Założenia:
\(\displaystyle{ a}\) - pierwsza krawędź podstawy
\(\displaystyle{ b}\) - druga krawędź podstawy
\(\displaystyle{ c}\) - wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ f_{1}}\) - pierwsza przekątna podstawy
\(\displaystyle{ f_{2}}\) - druga przekątna podstawy
\(\displaystyle{ d_{1}=d_{3}}\) (2 przekątne graniastosłupa oparte na tej samej przekątnej podstawy)
\(\displaystyle{ d_{2}=d_{4}}\) (jak wyżej)

oczywiście:

\(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ b>0}\)
\(\displaystyle{ c>0}\)

Teza:

\(\displaystyle{ 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}\)

Dowód:

Z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ f_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(2\pi - \alpha)=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ f_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}\)

Z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ d_{1}^{2}=f_{1}^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ d_{2}^{2}=f_{2}^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \alpha}\)

Zatem, pamiętając iż:

\(\displaystyle{ d_{1}=d_{3}}\)
\(\displaystyle{ d_{2}=d_{4}}\)

\(\displaystyle{ P=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\)

\(\displaystyle{ P=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}=2 \cdot d_{1}^{2}+2 \cdot d_{2}^{2}=2 \cdot(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\cos \alpha+a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \alpha)=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})=L}\)

C.N.D.

[anna_]

\(\displaystyle{ c}\) - wysokość graniastosłupa

Zdaje się, że ten dowód bez wektorów jest dowodem dla graniastosłupa a nie dla równoległościanu.