Wysokość ostrosłupa prawidłowego jest dwukrotnie większa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Jak to wyliczyć? Dziękuję za pomoc.
Oblicz cosinus między ścianami bocznymi
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Oblicz cosinus między ścianami bocznymi
Ok, no to napiszę Ci po kolei co masz zrobić:
1) Masz bok \(\displaystyle{ x}\) i wysokość \(\displaystyle{ 2x}\), teraz oblicz krawędź boczną ostrosłupa (z Pitagorasa)
2) Mając krawędź boczną oblicz wysokość ściany bocznej (też z Pitagorasa)
3) Z pola trójkąta wyznacz drugą wysokość (tę, która opada na krawędź boczną)
4) Teraz masz trójkąt równoramienny, gdzie ramiona to te drugie wysokości trójkąta - kąt z twierdzenia cosinusów
1) Masz bok \(\displaystyle{ x}\) i wysokość \(\displaystyle{ 2x}\), teraz oblicz krawędź boczną ostrosłupa (z Pitagorasa)
2) Mając krawędź boczną oblicz wysokość ściany bocznej (też z Pitagorasa)
3) Z pola trójkąta wyznacz drugą wysokość (tę, która opada na krawędź boczną)
4) Teraz masz trójkąt równoramienny, gdzie ramiona to te drugie wysokości trójkąta - kąt z twierdzenia cosinusów
-
myther
- Użytkownik
- Posty: 505
- Rejestracja: 3 kwie 2010, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sanok
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 2 razy
Oblicz cosinus między ścianami bocznymi
Dzięki:)
Pojawił się pewien problem, nie mogę jakoś znaleźć tego trójkąta równowamiennego...
Wyliczyłem:
krawędź ściany bocznej \(\displaystyle{ a ^{2}= \frac{13x ^{2} }{3}}\)
wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h ^{2}= \frac{49x ^{2} }{12}}\)
druga wysokość to jak sądzę \(\displaystyle{ \frac{x \sqrt{3} }{2}}\)
Co dalej? W ogóle to co mam do tej pory jest poprawnie?
Pojawił się pewien problem, nie mogę jakoś znaleźć tego trójkąta równowamiennego...
Wyliczyłem:
krawędź ściany bocznej \(\displaystyle{ a ^{2}= \frac{13x ^{2} }{3}}\)
wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h ^{2}= \frac{49x ^{2} }{12}}\)
druga wysokość to jak sądzę \(\displaystyle{ \frac{x \sqrt{3} }{2}}\)
Co dalej? W ogóle to co mam do tej pory jest poprawnie?
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Oblicz cosinus między ścianami bocznymi
Na początku jest OK.
Krawędź ściany bocznej:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x\sqrt3}{3} \right)^2+\left( 2x\right)^2=k^2 \\
k^2= \frac{13}{3}x^2 \Rightarrow k= \frac{ \sqrt{39}x }{3}}\)
Teraz wysokość ściany bocznej (ta opadająca na krawędź podstawy):
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}x \right)^2+(h_1)^2=\left( \frac{ \sqrt{39} x}{3} \right)^2 \\
h_1^2= \frac{13}{3}x^2- \frac{1}{4}x^2= \frac{49}{12}x^2 \\
h_1= \frac{7\sqrt3}{6}}\)
Znamy pole ściany bocznej, \(\displaystyle{ P= \frac{xh_1}{2}= \frac{7x\sqrt3}{12}}\). Teraz można obliczyć drugą wysokość ściany bocznej (tą, co opada na krawędź boczną):
\(\displaystyle{ \frac{7x\sqrt3}{12}= \frac{h_2 \cdot k}{2}=h_2 \cdot \frac{\sqrt{39}x}{6} \\
h_2= \frac{7\sqrt{13}}{26}}\)
Kąt dwuścienny jest między dwoma takimi wysokościami a krawędzią podstawy. Z tw. cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ x^2=2\left( \frac{7\sqrt{13}}{26} \right) ^2-2\left( \frac{7\sqrt{13}}{26} \right)^2\cos\alpha \\
- \frac{23}{26}x^2=- \frac{49}{26}x^2 \cos\alpha \Rightarrow \textcolor{blue}{\cos\alpha= \frac{23}{49} }}\)
Krawędź ściany bocznej:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x\sqrt3}{3} \right)^2+\left( 2x\right)^2=k^2 \\
k^2= \frac{13}{3}x^2 \Rightarrow k= \frac{ \sqrt{39}x }{3}}\)
Teraz wysokość ściany bocznej (ta opadająca na krawędź podstawy):
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}x \right)^2+(h_1)^2=\left( \frac{ \sqrt{39} x}{3} \right)^2 \\
h_1^2= \frac{13}{3}x^2- \frac{1}{4}x^2= \frac{49}{12}x^2 \\
h_1= \frac{7\sqrt3}{6}}\)
Znamy pole ściany bocznej, \(\displaystyle{ P= \frac{xh_1}{2}= \frac{7x\sqrt3}{12}}\). Teraz można obliczyć drugą wysokość ściany bocznej (tą, co opada na krawędź boczną):
\(\displaystyle{ \frac{7x\sqrt3}{12}= \frac{h_2 \cdot k}{2}=h_2 \cdot \frac{\sqrt{39}x}{6} \\
h_2= \frac{7\sqrt{13}}{26}}\)
Kąt dwuścienny jest między dwoma takimi wysokościami a krawędzią podstawy. Z tw. cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ x^2=2\left( \frac{7\sqrt{13}}{26} \right) ^2-2\left( \frac{7\sqrt{13}}{26} \right)^2\cos\alpha \\
- \frac{23}{26}x^2=- \frac{49}{26}x^2 \cos\alpha \Rightarrow \textcolor{blue}{\cos\alpha= \frac{23}{49} }}\)