bryla

[bullay]

Pole równoramiennego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe \(\displaystyle{ Q}\), a kąt \(\displaystyle{ C}\) przy wierzchołku jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Znaleźć powierzchnię całkowitą bryły powstałej przez obrót tego trójkąta wokół prostej prostopadłej do podstawy i przechodzącej przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\).

[florek177]

Powstałą bryłą będzie stożek ścięty o promirniu r = a i wysokości h z wydążonym stożkiem ( a/2 , h ). Jeżeli powierzchnię boczną tego wydrążenia wypchniesz do góry, to otrzymasz stożek (a, 2h) a powierzcnia całkowita bryły nie zmieni się.

Mamy: \(\displaystyle{ r = a \,\,}\) i \(\displaystyle{ l_{s} = 2 l_{t} \,\,}\) Pole trójkąta: \(\displaystyle{ Q = \frac{a}{2} h\,\,}\); oraz \(\displaystyle{ h = \frac{a}{2} ctg(\frac{\alpha}{2})\,\,}\);
więc \(\displaystyle{ a = \frac{2 \sqrt{Q}}{\sqrt{ctg(\frac{\alpha}{2})}}\,\,}\); \(\displaystyle{ l_{t} = \frac{a}{2 sin(\frac{\alpha}{2})} \,\,}\)

\(\displaystyle{ P_{c} = \pi a^{2} + \pi a l_{s} \,\,}\) ostatecznie \(\displaystyle{ \,\,P_{c} = \frac{4 \pi Q}{{ctg(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{sin(\frac{\alpha}{2}}}} (1 + \sqrt{sin(\frac{\alpha}{2}}))}\)