Stożek obrotowy i V figury powstałej przez obrót wokół OX

[marcin1606]

Witam. Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności moich obliczeń.
Zad1.
Na kuli opisano stożek, podstawa stożka i kuli są w jednej płaszczyźnie i trzeba znaleźć najmniejszą objętość stożka, dla zadanego R tej kuli.
Rozw.

\(\displaystyle{ sin(A)= \frac{R} {H-R}}\)

\(\displaystyle{ sin(A)= \frac{r} {\sqrt{H^{2}+r^{2}}}}\)

Porównuję sinusy:
\(\displaystyle{ \frac{R} {H-R}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \frac{r} {\sqrt{H^{2}+r^{2}}}}\)

Po podniesieniu do kwadratu i pogrupowaniu:

\(\displaystyle{ H= \frac{2Rr^{2} }{ r^{2} - R^{2} }}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{2\pi}{3}}\)\(\displaystyle{ \frac{Rr^{2} }{ r^{2} - R^{2} }}\)

Teraz liczę pochodną \(\displaystyle{ \frac{Rr^{2} }{ r^{2} - R^{2} }}\), żeby znaleźć minimum

Pochodna po obliczeniu wynosi: \(\displaystyle{ \frac{2r((1-2R)r^{2}- R^{2} ) }{ (r^{2}-R^{2})^{2} }}\)

Dla \(\displaystyle{ r= -\frac{R^{2}}{1-2R}}\) osiąga minimum, więc dla takiego stożka objętość będzie najmniejsza.

Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania i wskazanie ewentualnych błędów. Z góry dziękuję.

[piasek101]

Zad1.
Na półkuli opisano stożek...

Nie wiem co dopiszesz ale jak na razie nigdzie nie widzę półkuli.

[marcin1606]

W zadaniu wyżej pomyliło mnie się. Ma być kula. Przepraszam bardzo za wprowadzanie w błąd.
Mam prośbę, aby sprawdzić jeszcze jedno zadanie
"funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x^{2} + 1}}\). znaleźć jej asymptotę i obliczyć objętość figury utworzonej, przez obrót wykresu wokół tej asymptoty.
Obliczam asymptoty.
Zauważam, że funkcja jest parzysta.
Nie będzie asymptot pionowych, bo funkcja jest ciągła w R
Asymptoty ukośne:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x(x^{2}+1)} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{2}+1} = 0}\)
Z tego wynika, że funkcja ma asymptotę poziomą w 0.
Objętość będzie się wyrażała wzorem:
\(\displaystyle{ V= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}}\)
Rozbijam na dwie całki:
\(\displaystyle{ \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^{0}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}}\)
Obliczam całkę nieoznaczoną: \(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}}\) i podstawiam
\(\displaystyle{ arctg(x)=t}\)
\(\displaystyle{ x=tg(t)}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{dt}{cos^{2}(t)}}\)
Po wyliczeniu otrzymuję:
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{2}arctg(x)+ \frac{1}{4}sin(arctg(2x))+C}\)
Podstawiam do:
\(\displaystyle{ \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}= \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^{0}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}= \frac{-\pi}{4}}\)- tu nie jestem pewien, wydaje mnie się, że należy wziąć wartość bezwzględną z tej całki, bo inaczej pole wyjdzie 0. Jeżeli wezmę wartość bezwzględną tego to otrzymam wynik \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
Czy mogę tak zrobić. Dziękuję za odpowiedź.

[kieloo]

Jeśli myślimy o tym samym zadaniu (a wydaje mi się że tak )
to w oryginale było, że podstawa stożka i podstawa półkuli są w jednej płaszczyźnie...

[marcin1606]

Policzyłem, że dla półkuli najmniejsza objętość stożka będzie \(\displaystyle{ r= \sqrt{ \frac{3R^{2}}{2} }}\). Czy ktoś potwierdza wynik??

[piasek101]

Miałeś wyznaczyć objętość.

Mam (dla półkuli) : \(\displaystyle{ V=\frac{\sqrt 3}{2}\pi R^3}\) (ale mogłem się pomylić).