Kule, największa odległość

[smmileey]

Cztery kule, z których trzy mają promień r, a czwarta R, ułożono na stole w taki sposób, że każda kula jest styczna do trzech pozostałych, przy czym kule przystające tworzą podstawę piramidy. Oblicz największą odległość punktu kuli o promieniu R od stołu. podaj warunek, jaki muszą spełniać promienie, aby ustawienie piramidy było możliwe.

A więc wydaje mi się, że te kule o promieniu r, które tworzą podstawę, muszą tworzyć coś w rodzaju trójkąta, natomiast kula o promieniu R, "styka" się z nimi od góry. Rysując przekrój bez jednej kuli z tyłu wyglądałoby to mniej więcej tak:



Z tego szukana odległość d wynosi:
\(\displaystyle{ d= r + \sqrt{(r+R)^2 - r^2} + R}\)

Czy to jest dobre rozwiązanie?
Jeśli tak, to co z warunkiem jakie muszą spełniać promienie, aby zbudowanie piramidy było możliwe?

[mkb]

Kule są w przestrzeni, rysunek nie uwzględnia przesunięcia wierzchołka.

Przyjmijmy, że w zadaniu trzy jednakowe kule spoczywają na podłożu. Ich środki tworzą podstawę ostrosłupa prawidłowego, będącą trójkątem równobocznym o boku 2r. Trzy krawędzie ostrosłupa mają długość (r+R). Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem podstawy, jego odległość od każdego wierzchołka podstawy wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{3}{ \sqrt{3}} \cdot 2 \cdot r}\)
Z tw. Pitagorasa obliczasz wysokość \(\displaystyle{ h}\) ostrosłupa (przeciwprostokątna to \(\displaystyle{ r+R}\)). Jego odległość od podstawy to \(\displaystyle{ h+r}\). Ustawienie piramidy jest możliwe, jeżeli kula o promieniu R nie "wpadnie" w otwór między kulami podstawy, warunek: \(\displaystyle{ h>0}\).

[smmileey]

Rzeczywiście, nie zauważyłem, że rzut wierzchołka będzie na środek podstawy tego trójkąta, który powstanie. Jednak mam kilka pytań:

Skąd ta odległość środka podstawy od wierzchołka? Skoro jest to ostrosłup prawidłowy, to ten środek nie powinien dzielić wysokości trójkąta równobocznego na odcinki \(\displaystyle{ \frac{h}{3} i \frac{2h}3}}\) ?
Poza tym, czy na końcu nie powinno być \(\displaystyle{ h + r + R}\)? W końcu wysokość ostrosłupa zaczyna się od środka kuli "na górze", więc jeszcze dodatkowo promień w górę.

[mkb]

Bok trójkąta w podstawie: 2r, odległość środek - wierzchołek:2/3 wysokości, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt {3}}{3} \cdot 2 \cdot r}\)
Na końcu będzie oczywiście suma r+R+h.

[smmileey]

Teraz się zgadza. Zauważ, że wcześniej dałeś \(\displaystyle{ \sqrt{} 3}\) w mianowniku, dlatego nie wiedziałem skąd to wziąłeś.

Dzięki za pomoc