krawędz podstawy ostrosłupa
krawędz podstawy ostrosłupa
Wyznacz krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o objętości \(\displaystyle{ 2\sqrt{26}}\) wiedząc, że krawędź boczna jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
krawędz podstawy ostrosłupa
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie szukaną długością krawędzi podstawy.
Ze wzoru na objętość ostrosłupa mamy \(\displaystyle{ 2\sqrt{26}=\frac{Ph}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest polem podstawy ostrosłupa, a \(\displaystyle{ h}\) długością jego wysokości.
Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości \(\displaystyle{ x}\), więc \(\displaystyle{ P=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}}\).
Rozważ trójkąt zawierający dowolną krawędź boczną (w myśl założenia długości \(\displaystyle{ 3x}\)) i wysokość \(\displaystyle{ h}\). Jest to trójkąt prostokątny, trzecim z jego boków jest odcinek zawarty w podstawie ostrosłupa - jest on długości promienia okręgu opisanego na podstawie, tj. \(\displaystyle{ \frac{x\sqrt{3}}{3}}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ h^2+(\frac{x\sqrt{3}}{3})^2=(3x)^2}\), więc \(\displaystyle{ h=\sqrt{9x^2-\frac{x^2}{3}}=\frac{x\sqrt{78}}{3}}\).
Wobec tego i powyższego wzoru na objętość ostrosłupa dostajemy \(\displaystyle{ 2\sqrt{26}=\frac{\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{x\sqrt{78}}{3}}{3}=\frac{x^3\sqrt{26}}{12}}}\). W konsekwencji \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}}\).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa mamy \(\displaystyle{ 2\sqrt{26}=\frac{Ph}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest polem podstawy ostrosłupa, a \(\displaystyle{ h}\) długością jego wysokości.
Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości \(\displaystyle{ x}\), więc \(\displaystyle{ P=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}}\).
Rozważ trójkąt zawierający dowolną krawędź boczną (w myśl założenia długości \(\displaystyle{ 3x}\)) i wysokość \(\displaystyle{ h}\). Jest to trójkąt prostokątny, trzecim z jego boków jest odcinek zawarty w podstawie ostrosłupa - jest on długości promienia okręgu opisanego na podstawie, tj. \(\displaystyle{ \frac{x\sqrt{3}}{3}}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ h^2+(\frac{x\sqrt{3}}{3})^2=(3x)^2}\), więc \(\displaystyle{ h=\sqrt{9x^2-\frac{x^2}{3}}=\frac{x\sqrt{78}}{3}}\).
Wobec tego i powyższego wzoru na objętość ostrosłupa dostajemy \(\displaystyle{ 2\sqrt{26}=\frac{\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{x\sqrt{78}}{3}}{3}=\frac{x^3\sqrt{26}}{12}}}\). W konsekwencji \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}}\).