W kulę wpisano stożek. Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 60. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.
Czy wynik to \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\)?
stosunek objętości stożka do objętości kuli
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
stosunek objętości stożka do objętości kuli
r- promień podstawy stożka
2r- tworząca stożka
\(\displaystyle{ \frac{2r\sqrt{3}}{2=r\sqrt{3}}\)- wysokość stożka
Objętość stożka:
\(\displaystyle{ V_s=\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot\ r\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\ r^3}\)
R- promień kuli
\(\displaystyle{ R=\frac{2}{3}\cdot\ r\sqrt{3}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}}\)
Objętość kuli:
\(\displaystyle{ V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{2r\sqrt{3}}{3})^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{8r^3\cdot3\sqrt{3}}{27}=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi\ r^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_s}{V_k}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{32\sqrt{3}}{27}}=\frac{9}{32}}\)
2r- tworząca stożka
\(\displaystyle{ \frac{2r\sqrt{3}}{2=r\sqrt{3}}\)- wysokość stożka
Objętość stożka:
\(\displaystyle{ V_s=\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot\ r\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\ r^3}\)
R- promień kuli
\(\displaystyle{ R=\frac{2}{3}\cdot\ r\sqrt{3}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}}\)
Objętość kuli:
\(\displaystyle{ V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{2r\sqrt{3}}{3})^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{8r^3\cdot3\sqrt{3}}{27}=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi\ r^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_s}{V_k}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{32\sqrt{3}}{27}}=\frac{9}{32}}\)