Prawidłowy ostrosłup czworokątny

[Glo]

Witam!

Mam zadanie ze zbiorku, i rozwiązałem je zupełnie innym sposobem niż ten zasugerowany i zastanawiam się, czy jest poprawny Mniejsza o to, czy jest najszybszy etc, ale miło by było gdyby ktoś przejrzał w poszukiwaniu błędów merytorycznych.

A brzmi ono tak:
Ściany boczne prawidłowego ostrosłupa czworokątnego tworzą z płaszczyzną podstawy jednakowe kąty dwuścienne \(\displaystyle{ \alpha}\). Znając odległość a wierzchołka ostrosłupa od środka kuli w niego wpisanej znaleźć pole powierzchni ostrosłupa.

Zamieszczam obrazek ilustrujący sytuację wykonany w nowoczesnym programie graficznym.


(link, ponieważ cały nie wejdzie na forum )
Na zielono kąty alpha, niebieski odcinek to promień kuli.

No więc trójkąty PES oraz OFS są podobne. Zapisuję:

\(\displaystyle{ x=\sqrt{a^2-r^2}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha =\frac{r}{a}\Rightarrow r=cos \alpha *a}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha =\frac{a+r}{h_b}=\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}\Rightarrow h_b=\frac{a^2+ar}{\sqrt{a^2-r^2}}}\)

\(\displaystyle{ h_b= \frac{a^2+a^2cos\alpha}{\sqrt{a^2-a^2cos^2\alpha}}=\frac{a(1+cos\alpha)}{\sqrt{1-cos^2\alpha}}}\)

Z podobieństwa wcześniej wymienionych trójkątów:
(zapomniałem zaznaczyć na rysunku, b to krawędź podstawy bryły)
\(\displaystyle{ \frac{r}{a}=\frac{b}{2h_b} \Rightarrow b=2rah_b \Rightarrow b=2*a*cos\alpha*a*\frac{a(1+cos\alpha)}{\sqrt{1-cos^2\alpha}}=\frac{2a^3cos\alpha(1+cos\alpha)}{\sqrt{1-cos^2\alpha}}}\)

A dalej, posiadając krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej już tylko rachunki. Może być?:)

[florek177]

1. pierwiastk w mianowniku można zlikwidować --> jedynka tryg.
2. z ostatniej prporcji źle wyznaczone b --> wielkość liniowa nie może mieć miary \(\displaystyle{ j^{3}}\)