Objętość "powiększonego" graniastosłupa praw. sześciokątnego

[addmir]

Jaka jest objętość figury utworzonej ze wszystkich punktów leżących w odległości mniejszej niż 1 od graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wszystkich krawędziach długości 2?


Jak zrobić to zadanie?

[anna_]

Znasz może do tego odpowiedź?

[addmir]

Nie, nie znam odpowiedzi.

[anna_]

Pewna nie jestem, ale może tak:

Obliczę objętość bryły utworzonej ze wszystkich punktów leżących w odległości równej 1.
Objętość graniastosłupa będzie mniejsza od tej objętości graniastosłupa o wysokości.

Krawędź podstawy tego graniastosłupa to b.
\(\displaystyle{ H=4}\)- wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ a=2}\) - krawędź danego ostrosłupa

Obliczam \(\displaystyle{ h}\) jedego trójkąta z podstawy
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{2 \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{3}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ h_1}\) szukanego graniastosłupa
Z warunków zadania mamy
\(\displaystyle{ h_1=h+1}\)
\(\displaystyle{ h_1=\sqrt{3}+1}\)

Obliczam \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ h_1= \frac{b \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b \sqrt{3} }{2}=\sqrt{3}+1}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{2 \sqrt{3} }{3} +2}\)

Obliczam \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ V=6 \cdot \frac{b^2 \sqrt{3} }{4}H}\)
\(\displaystyle{ V=32 \sqrt{3} +48}\)

Objętość szukanego graniastosłupa jest mniejsza od \(\displaystyle{ 32 \sqrt{3} +48}\), ale większa od objętości danego graniastosłupa

Nie jestem pewna czy ta bryła to graniastosłup. (całkiem możliwe, że nie. Krawędzie nowej bryły mogą być zaokrąglone))

[addmir]

Nie jestem pewna czy ta bryła to graniastosłup. (całkiem możliwe, że nie. Krawędzie nowej bryły mogą być zaokrąglone))

No właśnie. Moim zdaniem wzdłuż krawędzi będą kawałki walców a w wierzchołkach powstaną kawałki kul.

[Glo]

Wydaje mi się, że na krawędziach bocznych będą fragmenty walców (tak jak mówisz), wycinek zawierający dwa razy promień i fragment powierzchni bocznej, między promieniami zapewne będzie kąt taki jak kąt pomiędzy ścianami graniastosłupa, tj. 120 stopni. Przekrojem równoległym do podstawy takiego fragmentu walca będzie wycinek koła o promieniu 1cm i kącie rozwarcia 120 stopni. "Resztę" ściany bocznej nowej bryły policzymy jako ostrosłup ścięty o wysokości 1, gdzie ściany boczne są nachylone do podstawy dolnej pod kątem 60 stopni. Analogicznie będzie dla krawędzi podstaw, z tym że kąt dla walca inny (270stopni?) oraz podstawy będą nie ostrosłupami a graniastosłupami. Ale to już łatwiej. Nie mam jeszcze pomysłu na wierzchołki, jak przyjdzie mi do głowy to napiszę. Ofc traktować to co piszę z ograniczonym zaufaniem

[anna_]

Chyba mam.
Trzeba obliczyć objętość bryły, utworzonej ze wszystkich punktów leżących w odległości równej 1.
Objętość bryły z zadania będzie od niej mniejsza.

Część przekroju poziomego:

AU

796a78770a3e9b65m.png (11.42 KiB) Przejrzano 97 razy

[/url]

Do ścian będą doklejone prostopadłościany o krawędzi podstawy 2 x 1 i wysokości 2. (będzie ich 6)
\(\displaystyle{ V_1=6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2=24}\)

Do krawędzi bocznych będą doklejone części walców. Będzie ich 6 i w sumie ich objętość będzie równa objętości walca o promieniu podstawy 1 i wysokości 2.

\(\displaystyle{ V_2=\pi \cdot 1^2 \cdot 2=2\pi}\)

Do każdej podstawy będzie będą doklejony graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego o krawędzi 2 i wysokości 1.

\(\displaystyle{ V_3=2 \cdot 6 \cdot \frac{2^2 \sqrt{3} }{4} \cdot 1=12 \sqrt{3}}\)

W wierzchołkach podstaw będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) pólkuli. Tych części będzie 12. Ich objętośc będzie równa objętości kuli o promieniu 1.

\(\displaystyle{ V_4= \frac{4}{3} \pi 1^3= \frac{4}{3} \pi}\)

Objętość bryły
\(\displaystyle{ V=V_1+V_2+V_3+V_4=24+2 \pi+12 \sqrt{3}+\frac{4}{3} \pi= \frac{10}{3} \pi +12 \sqrt{3}+24}\)

Objętość bryły będzie mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{10}{3} \pi +12 \sqrt{3}+24}\)

[Glo]

Racja, pomyliłem te kąty rozwarcia stożków, z rysunku faktycznie widać 60 stopni. Ale jak doszłaś do tego, że na każdym wierzchołku będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) półkuli?

[anna_]

Że kawałek półkuli to oczywiste. Kąt między promieniami koła wielkiego będzie miał \(\displaystyle{ 60^o}\),czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) pólkuli.

[addmir]

@nmn
Przy krawędziach podstaw też powstaną kawałki walców, prawda? Czyli jeszcze trzeba dodać do tego, co już obliczyłaś, objętość tych walców. Czy może się mylę

[anna_]

Kurcze, chyba masz rację. Do podstaw dokleiłam tylko sześciokąt i do ścian graniastosłypy, więc tam będzie 'dziura'.

Na wszelki wypadek poproszę o konsultacje fachowca.

-- dzisiaj, o 20:09 --

Trzeba dodać jeszcze objętość 12 ćwierćwalców o promieniu 1 i wysokości 2, czyli w sumie objętość 3 walców.

[addmir]

Dzięki za pomoc