w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

[aagatenka]

w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie \(\displaystyle{ ABCD}\) i wierzchołku \(\displaystyle{ S}\) dane są: długość wysokości ostrosłupa \(\displaystyle{ |SS'|= 4\sqrt{2}}\) oraz miara kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa \(\displaystyle{ |\angle ASB| = 60^o}\). oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

[irena_1]

Ściany boczne to trójkąty równoramienne. Jeśli płaski kąt między krawędziami bocznymi ma miarę \(\displaystyle{ 60^0}\), to te trójkąty są równoboczne, a stąd wynika, że wszystkie krawędzi tego ostrosłupa są równe.
a- długość krawędzi
Wysokość ostrosłupa, krawędź boczna i promień okręgu opisanego na podstawie (połowa przekątnej kwadratu) tworzą trójkąt prostokątny.
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (4\sqrt{2})^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=a^2\\a^2-\frac{1}{2}a^2=32\\\frac{1}{2}a^2=32\\a^2=64\\a=8}\)

Objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2H\\V=\frac{1}{3}\cdot8^2\cdot4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}}\)

Pole powierzchni:
\(\displaystyle{ P_p=a^2+4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=8^2+8^2\sqrt{3}=64(\sqrt{3}+1)}\)